Dejemos que $n = p^k$ sea una potencia de un primo. Sea $G$ sea un grupo de permutación transitiva sobre $n$ letras. Demuestre que existe un elemento libre de punto xed de orden $p$ .
Puedo demostrar que debe haber un punto fijo: La transitividad del grupo implica que sólo hay $1$ órbita. El lema de Burnside implica entonces que el número medio de puntos fijos para un elemento del grupo es $1$ . Como la identidad lo fija todo, hay un elemento libre de punto fijo.
Puedo demostrar que existe un elemento de orden $p$ : De nuevo utilizamos que el grupo es transitivo y que, por tanto, sólo hay una órbita. Como sólo hay una órbita, el orden de la órbita de $x$ es $p^k$ . Por el teorema del estabilizador de la órbita, el orden del estabilizador de algún elemento $x$ es igual al orden del grupo dividido por $p^k$ . Como el orden de un estabilizador es un número entero, $p^k$ divide el orden del grupo. Por el teorema de Cauchy, existe un elemento de orden $p$ en el grupo.
No puedo, sin embargo, demostrar que hay un elemento de orden $p$ sin puntos fijos. ¿Alguien tiene alguna pista?
