¿Cuál es el valor exacto de $\eta(6i)$?

Question

Deje $\eta(\tau)$ ser el Dedekind eta función. En su Cuaderno Perdido, Ramanujan, jugando con una función relacionada y vino para arriba con algunas de las evaluaciones,

$$\begin{aligned} \eta(i) &= \frac{1}{2} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(2i) &= \frac{1}{2^{11/8}} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(3i) &= \frac{1}{2\cdot 3^{3/8}} \frac{1}{(2+\sqrt{3})^{1/12}} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(4i) &= \frac{1}{2^{29/16}} \frac{1}{(1+\sqrt{2})^{1/4}} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(5i) &= \frac{1}{2\sqrt{5}}\left(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1/2}\, \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(6i) &=\; \color{red}{??}\\ \eta(7i) &= \frac{1}{2\sqrt{7}}\left(-\tfrac{7}{2}+\sqrt{7}+\tfrac{1}{2}\sqrt{-7+4\sqrt{7}} \right)^{{1/4}}\, \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(8i) &= \frac{1}{2^{73/32}} \frac{(-1+\sqrt[4]{2})^{1/2}}{(1+\sqrt{2})^{1/8}} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\\ \eta(16i) &= \frac{1}{2^{177/64}} \frac{(-1+\sqrt[4]{2})^{1/4}}{(1+\sqrt{2})^{1/16}} \left(-2^{5/8}+\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)^{1/2}\,\frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}\end{aligned}$$

con las más altas $>4$ añadido por esta OP. (Nota de los poderes de la $2$.)

Preguntas:

1. Similar a las otras, ¿cuál es el valor exacto de $\eta(6i)$?
2. Es cierto que la función, $$F(\sqrt{-N}) = \frac{\pi^{3/4}}{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}\,\eta(\sqrt{-N}) $$ es un número algebraico sólo si $N$ es un cuadrado?

P. S. parece extraño, hay una función que se obtiene un número algebraico para la plaza de entrada de $N$ y un trascendental número de no-cuadrado de $N$. (Hay conocidos funciones gusta eso?) Para un ejemplo de no-cuadrado de $N$,,

$$\eta(\sqrt{-3}) = \frac{3^{1/8}}{2^{4/3}} \frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{3}\big)^{3/2}}{\pi} = 0.63542\dots$$

y $F(\sqrt{-3})$ parece ser trascendental.

Answer 1

Después de ser perseverante con un Mathematica sesión, me encontré con que $F(6i)$ es la raíz de $96$grados de eqn (no es de extrañar que era difícil de encontrar!) pero podría ser engalanada como,

$$\eta(6i) = \frac{1}{2\cdot 6^{3/8}} \left(\frac{5-\sqrt{3}}{2}-\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}}\right)^{1/6}\,\frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}$$

Sin embargo, la segunda pregunta sigue abierta.

Answer 2

Ya que sabemos el valor de $\eta(3i)$, el punto es sólo para calcular el valor del producto: $$ \prod_{n\geq 0}(1+e^{-6\pi n})=\exp\sum_{n\geq 0}\log\left(1+e^{-6\pi n}\right)=\exp\sum_{n\geq 0}\int_{n}^{n+1}\frac{6\pi n}{1+e^{6\pi s}}\,ds$$ donde: $$\sum_{n\geq 0}\int_{n}^{n+1}\frac{6\pi n}{1+e^{6\pi s}}\,ds = \int_{0}^{+\infty}\frac{6\pi s\,}{1+e^{6\pi s}}-\int_{0}^{+\infty}\frac{6\pi\{s\}}{1+e^{6\pi s}}$$ y la primera integral en el lado derecho es igual a $\frac{\pi}{72}$ por el teorema de los residuos, mientras que la expansión de la fracción como parte de su serie de Fourier, $\{s\}=\frac{1}{2}-\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(2\pi n s)}{\pi n}$, obtenemos:

$$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{+\infty}\frac{6\pi\{s\}\,ds}{1+e^{6\pi s}}&=&\frac{\log 2}{2}-\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{+\infty}\frac{6 \sin(2\pi n s)}{n(e^{6\pi s}+1)}\,ds\\&=&\frac{\log 2}{2}-\sum_{n\geq 1}\frac{6}{n}\sum_{m\geq 0}(-1)^m\int_{0}^{+\infty}\sin(2\pi n s)\,e^{-6\pi m s}\,ds\\&=&\frac{\log 2}{2}-\frac{3}{\pi}\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 0}\frac{(-1)^m}{9 m^2+n^2}\\&=&\frac{\log 2}{2}-\frac{\pi}{2}-\frac{3}{\pi}\sum_{m,n\geq 1}\frac{(-1)^m}{9m^2+n^2}\end{eqnarray*}$$ y el último de la serie, sólo depende de la cantidad de formas de representar un número entero positivo $\not\equiv 2\pmod{3}$ a través de los binarios de forma cuadrática $n^2+9m^2$: es, con pequeñas modificaciones, sólo una de Dirichlet de convolución. Acabo de aplicar las mismas técnicas de esta respuesta, justo a la inversa.

Esto muestra una clara relación entre la evaluación de la Dedekind eta a la función cuadrática irrationals y el número de clase de problema: $\eta(\sqrt{-N})$ depende de $\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{r(n)}{n}$ donde $r(n)$ cuenta el número de maneras de representar el $n$$a^2+Nb^2$. Si $N$ es un cuadrado o $a^2+Nb^2$ es la única reducción de una forma cuadrática de discriminante $-4N$ (clase número uno) podemos calcular explícitamente dicha serie, y resulta que $F(\sqrt{-N})$ es un número algebraico. De lo contrario, $\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{r(n)}{n}$ no es ni siquiera una convolución de Dirichlet de la serie, de ahí que su conjetura es muy probable que tengamos.

En última instancia, en el cálculo de $\eta(6i)$ puede ser llevada a cabo por recordar que:

$$j(\tau)=\left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}\right)^8+2^8\left(\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}\right)^{16}\right)^{3} $$ y mediante el cálculo de la Klein $j$-invariante $j(3i)$. La página de la Wikipedia:

$$ j(3i) = \frac{1}{27}(2+\sqrt{3})^2(21+20\sqrt{3})^3.$$