Encuentre todos los pares$(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con la propiedad que$ 2^n+3^m $ es divisible por$23$.

Question

Encuentre todos los pares$(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con la propiedad que$ 2^n+3^m $ es divisible por$23$.

No estoy realmente seguro de cómo empezar, pero como lo encontré en un libro sobre teoría de grupos, este enfoque también podría ser posible.

Answer 1

Potencias de dos módulos$23$:$1,2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1 \ldots$
Potencias de tres módulos$23$:$1,3,9,4,12,13,16,2,6,18,8,1\ldots$
Encuentra todos los pares$(n,m)$ de manera que$n$ esté en el primer conjunto y$m$ esté en el segundo, con$n+m=23$.

Answer 2

Como $\displaystyle 2^3\cdot3=24\equiv1\pmod{23},$

$\displaystyle 2^n+3^m\equiv0\pmod{23}\iff 2^{n+3m}\equiv-3^m\cdot2^{3m}\equiv-(3\cdot2^3)^m$

$\displaystyle\implies2^{n+3m}\equiv-1\pmod{23}$

Ahora como$23$ es primo,$\displaystyle a^2\equiv1,a\equiv\pm1\pmod{23}$ para$(a,23)=1$

y$\displaystyle2^5=32\equiv9,2^{10}\equiv9^2=81\equiv12,2^{11}\equiv2\cdot12\equiv1$

Por lo tanto, no hay un exponente entero$(e)$ de$2$ tal que$2^e\equiv-1\pmod{23}$

Por lo tanto, el sistema no admite solución en enteros.

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Alternativamente,

INSINUACIÓN:

Como $3^3\equiv2^2\pmod{23},$

Caso$1:$ Si$\displaystyle m=3r+1,2^n+3^m=2^n+3^{3r+1}\equiv 2^n+3\cdot2^{2r}\pmod{23}$

Así que necesitamos $\displaystyle 2^{n-2r}\equiv-3\pmod{23}$

Observe que no hay un exponente entero$(e)$ de$2$ tal que$2^e\equiv-3\pmod{23}$

Caso$2:$ Si$\displaystyle m=3r+2$

Caso$3:$ Si$\displaystyle m=3r$

Answer 3

Sugerencia:

Buscar Fermat poco teorema.

Solución:

Estamos buscando a $n,m$ tal que $2^n+3^m\equiv 0$ modulo $23$. Por Fermat poco teorema $2^{22}\equiv 3^{22}\equiv 1$. Por lo tanto sólo queda comprobar los pares de $(n,m)$$0\le n,m<22$. Esto es sólo $484$ números por lo que se puede hacer con un ordenador, por ejemplo, el uso de Wolfram alpha con

Tabla[mod(2^n+3^m,23)=0,{n,0,21},{m,0,21}]

Devuelve una enorme mesa con las entradas sólo ser Falsa, por lo que no existen números naturales $n,m$ tal que $2^n+3^m$ es divisible por $23$.

Answer 4

Supongamos que una solución a $2^{n}\equiv-3^m$ (todo en esta respuesta es $\pmod {23}$.) Te voy a mostrar que esto implica $-2$ es un residuo cuadrático $\pmod {23}$, lo cual es falso.

Lema. $n$ es impar.

En primer lugar, sabemos $3\equiv 7^2$, lo $2^{n}\equiv-7^{2m}$. Ahora, la inversa de los dos $2^{-1}$$\equiv 12$, lo $-1\equiv7^{2m}12^{n}$. Si $n$ fueron incluso, $-1$ sería un residuo cuadrático $\pmod {23}$, lo cual es falso.

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Set $n=2k+1$. Esto implica $-2\equiv 7^{2m}12^{2k}=\left(7^m12^k\right)^2$, lo $-2$ es un residuo cuadrático $\pmod {23}$, pero esto es falso. Por lo tanto, no hay soluciones $(m, n)$.

Answer 5

Tenga en cuenta que$\ {\rm mod}\ 23\!:\ 3\equiv 1/8\equiv \color{#0a0}{2^{-3}},\ \ 2\equiv 5^2\Rightarrow\ 2^{11}\equiv 5^{22}\equiv \color{#c00}1\,$ by$\,\mu$ Fermat. Por lo tanto

PS

Observar $$ 2^{\large n} \equiv -3^{\large m} \equiv -\color{#0a0}{2^{\large -3\color{black}{\large m}}}\ \Rightarrow\ 2^{\large n+3m}\equiv -1\smash{\overset{\large\ (\ \ )^{11}}\Rightarrow} \color{#c00}1 \equiv -1 \,\Rightarrow\,\Leftarrow\qquad\ $ Alternativamente, note$\ $ así que$\, 3\equiv 7^2$ por lo tanto$\ 3^{11}\equiv 7^{22}\equiv 1$ Por lo tanto, la prueba esencialmente se reduce al hecho de que el producto de los dos cuadrados$\ 2^n \equiv -3^m\smash{\overset{\large\ (\ \ )^{11}}\Rightarrow}1\equiv -1.\ $ y$2^n$ no puede ser igual a$3^{-m}$ ya que no es un cuadrado (según el criterio de Euler)