Encontrar una solución inteligente para un juego de azar.

Question

Esta pregunta puede oler como mi mayor pregunta http://math.stackexchange.com/questions/1778/a-probability-gamepero esta vez mis intenciones son diferentes.

El problema vino de mi amigo. O eso creía yo, lo que realmente vino de mí incorrectamente recordando su problema. El problema, en realidad, él me dio fue:

Suponga que empieza con 1 dólar y voltear de un promedio ponderado de la moneda. Con probabilidad 3/4 (llamar a este cabezas) usted gana un dólar y con una probabilidad de 1/4 (llamar a este colas) que pierde un dólar. ¿Cuál es la probabilidad de que eventualmente se quedan sin dinero? (Supongamos que la casa tiene tantos billetes de un dólar como sea necesario).

Yo sé cómo resolver este problema de la siguiente manera: Primero observar el número de colas debe ser igual al número de cabezas, más uno. Si una cadena de Hs y Ts satisfacer esta propiedad, lo llaman Bueno. Ahora queremos contar el número de cadenas que no tienen Buenas adecuada de los prefijos. Para una cadena de longitud 2n-1 esto es sólo el enésimo catalán número. Ahora sólo nos queda tomar la correspondiente suma y llegamos a la probabilidad de que finalmente se ejecutará fuera de dinero, que resulta ser de 1/3.

Ahora, cuando mi amigo me habló de este problema, él dijo que él fue capaz de aplicar un truco, y resolver de manera casi instantánea. La cosa es, que no recuerdo cómo lo hizo. Dice que recuerda vagamente el uso de una relación de recurrencia y, a continuación, una suma telescópica. (Lo cual suena muy plausible)

Por lo que se puede llegar con un corto y dulce solución?

En una nota de lado, soy consciente de que mi título es pobre en el mejor. Si usted puede pensar en uno mejor, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Aquí está una manera más formal para derivar la respuesta: Definir $q_n$ a la probabilidad de que el tiempo de ir a la quiebra cuando se inicia con $n$ dólares. Entonces $q_0 = 1$, $\lim_{n \to \infty} q_n = 0$, y $q_n = \frac{1}{4} q_{n-1} + \frac{3}{4} q_{n+1}$.

La última ecuación define una secuencia recursiva con coeficientes constantes, cuya solución general es $q_n = c_1 + c_2 3^{- n}$ (los factores de $1$ $\frac{1}{3}$ provienen de la solución de la ecuación cuadrática de Morón de la respuesta, que es la ecuación fundamental de la recursividad). Para satisfacer las otras dos condiciones, en $q_n$, podemos ver que $c_1 = 0$ $c_2 = 1$ es decir $q_n = 3^{-n}$.

En particular, la probabilidad de ir a la quiebra, comenzando con un dólar es $q_1 = \frac{1}{3}$.

Answer 2

la afirmación de $q_n \to 0$ $n \to \infty$ en michael ulm respuesta quizá no del todo obvio, y está relacionado con la observación en morón de la respuesta: "supongo que podemos eliminar $p=1$ alguna manera..".

voy a elaborar un poco más sobre esto:

supongamos $\alpha$ es la probabilidad de ganar $\$1$ and $\beta = 1-\alpha$ is the chance of losing $\$1$. dos hechos son claros:

$$(1)\kern{15pt} q_0=1\kern{10pt} {\rm and\ for}\kern{10pt} n\ge 1,\kern{10pt} q_n = \alpha q_{n+1} + \beta q_{n-1},$$

$$\kern{-1.2in}(2) \kern{1.5in} q_n = q_1^n,\qquad n\ge 1.$$

tomando $n = 1$ en (1) y escribir $q_1 = q$ da

$$\kern{-1.7in}(3) \kern{1.5in} q = \alpha q^2 + \beta,$$

lo que significa que $q = 1$ o $q = {\beta\over\alpha}$.

así que si $\alpha \le \frac{1}{2},\ q = 1$ [debido a que una de las causas es $\ge 1$], mientras que si $\alpha > \frac{1}{2}$, ambas raíces son admisibles las respuestas.
[esto es lo imbécil que también concluyó.]

para descartar el caso de $q = 1$, se puede argumentar de la siguiente manera:

supongamos $q = 1$ y deje $S_n$ ser el jugador de la fortuna en el tiempo $n$. entonces

$T = T_1 = in\kern{-1pt}f \{ n \ge 1 : S_n = 0\}$ es finito ($wp1$).

ahora cuenta sólo el paseo aleatorio $\{S_n : n \ge 1\}$ [olvidarse de los juegos de azar contexto]. podemos definir de forma recursiva $T_{k+1} = in\kern{-1pt}f \{n > T_k : S_n = -k\} $. a continuación, $T_k$ es finito ( $wp1$ )$k\ge 1$.

a continuación, $\{S_{T_k} = 1-k : k \ge 1\}$ es un valor no positivo larga de $\{S_n\}_1^\infty$.

pero esto contradice la SLLN que $\mathit inter\ alia$ implica que el $S_n\to \infty$ cuando $\alpha > \frac{1}{2}$.

para el caso de $q = 1$ está descartado, y por lo tanto $q = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1}{3}$ al $\alpha = \frac{3}{4}$.

Answer 3

Si$p$ es la probabilidad de que eventualmente pierda un dólar, entonces debemos tener esa

PS

(Perdemos un dólar, o ganamos uno y perdemos dos eventualmente).

La resolución da$$p = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}p^{2}$ o$p=1$. Supongo que podemos eliminar$p=\frac{1}{3}$ de alguna manera y obtener$p=1$ como la respuesta requerida.