Demostrar que algún polinomio bivariado es irreducible

Question

¿Cómo puedo demostrar que $p(x,y)=2xy+x^2+y^3$ es irreducible sobre el anillo $\mathbb{R}[x,y]$? ¿Hay alguna forma de generalizar el criterio de Eisenstein a polinomios en varias variables?

He intentado una demostración por contradicción sin éxito, además estoy buscando técnicas más fuertes cuando se trata de polinomios en más de una variable. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sí, puedes usar el criterio de Eisenstein en esta forma general:

Dado un dominio integral $D$, sea $f=\sum_{i=0}^n a_iz^i$ un elemento de $D[z]$. Supongamos que existe un ideal primo $\mathfrak p$ de $D$ tal que
$a_i \in \mathfrak p$ para cada $i < n$,
$a_n \in \mathfrak p$, y
$a_0 \in \mathfrak p^2$.
Entonces $f$ no puede ser escrito como producto de dos polinomios no constantes en $D[z]$. Si además $f$ es primitivo (es decir, no tiene divisores constantes no triviales), entonces es irreducible en $D[z].

En tu caso escribe $x^2+2xy+y^3=(x+y)^2-y^2+y^3$, establece $z=x+y$, $D=\mathbb R[y]$ y $\mathfrak p=(y-1)$. (Quizás sea útil escribir el polinomio $z^2+y^2(y-1)$, y así se puede identificar $a_0=y^2(y-1)$ y $a_1=1.)

Answer 2

Sugerencias :

Para $y=2$ tienes $p(x,2)=x^2+4x+8$ que es irreducible.

Entonces... ¿Puedes adivinar algo???

Answer 3

Pista: $y^3+2xy+x^2 = (y+P(x))(y^2+ Q(x)y + R(x))$, entonces ¿cuáles son los valores de $P,Q,R$?