Descomposición de matrices en dos matrices de tamaño arbitrario

Question

Dada una matriz $A$ de las dimensiones de $m\times{}n$, estoy interesado en la descomposición de la $A$ en el producto $BC$ donde $B$ $m\times{}p$ matriz y $C$ $p\times{}n$ matriz.

¿Cuáles son los métodos para realizar este tipo de descomposición? ¿Cuáles son los posibles familia de soluciones? Son estas soluciones exhaustiva?

Antecedentes: a partir De un procesamiento de imagen de rutina, tengo una ecuación de $A = BC$ donde $A$ es un conocido $1\times{}12$ vector, $B$ es un desconocido $1\times{}6$ vector que contienen cantidades físicas para ser recuperados, y $C$ es un desconocido $6\times{}12$ matriz.

Answer 1

Consideremos el vector caso, aquí están algunos ejemplos \begin{align} \pmatrix{1 & 0 & 12}\pmatrix{1 \\ 2 \\ 0} &= 1 \\ \pmatrix{1 & 1 & 2}\pmatrix{0 \\ 1 \\ 0} &= 1 \\ \pmatrix{0 & 0 & 12}\pmatrix{5 \\ 2 \\ 1/ 12} &= 1 \\ \end{align}

Creo que se entiende la idea, en general, de tomar su $p$ más grande y más grande puede dar un conjunto infinito de factorizations.

Posiblemente la más útil de descomposición sería la descomposición de valor singular. Usted puede escribir $A = USV^\top$, y tome $B=US$ $C=V^\top$ tener una descomposición en factores que son ortogonales y unitarios, respectivamente. Esto funciona para cada posible dimensión de $m$ y $n$. $p=n$ sería el caso en el que ejemplo.

De manera más general, para descomponer $A= BC$, se puede realizar la operación de filas en $A$ y obtener cualquier no-singular factor de $B$ (por el contrario, la columna de operaciones en $A$ tener cualquier no-singular $C$).

$$A = B\underbrace{B^{-1}A}_{C}\quad\text{for arbitrary non-singular $B$}$$ o $$A = \underbrace{AC^{-1}}_{B}C\quad\text{for arbitrary non-singular $C$}$$