¿Por qué es un polinomio$f(x)$ suma de cuadrados si$f(x)>0 $ para todos los valores reales de$x$?

Question

Si un polinomio$f(x)>0 $ para todos los valores reales de$x$, entonces$f(x)$ es la suma de los cuadrados.
¿Por qué es esto cierto?
Entiendo que las raíces de este$f(x)$ serán complejas y, por lo tanto, existirán como pares conjugados (se debe asumir que el$f(x) $ tiene coeficientes reales).

Answer 1

Como $f(x)>0$, $f$ no tiene raíces reales, por lo que todas sus raíces son complejos conjugados de pares : se puede escribir :

$f(x) = \prod \limits_{i=1}^n (x - \lambda_i ) (x - \overline{\lambda_i})$ donde todos los $\lambda_i$ son no-real.

A continuación escriba $\prod \limits_{i=1}^n (X - \lambda_i) = P(X) + i Q(X)$ donde $P$ $Q$ tiene coeficientes reales. Inmediatamente usted tiene $\prod \limits_{i=1}^n (X - \overline{\lambda_i}) = P(X) - i Q(X)$

Por lo tanto $f(x) = (P(x) + iQ(x))(P(x) - i Q(x))$ e lo $f(x) = P(x)^2 + Q(x)^2$.

$ $

En realidad, el resultado es el mismo si sólo suponga $f \geqslant 0$ : en este caso se puede demostrar que todas las raíces reales son de incluso multiplicidades (para probar esto, por ejemplo el uso de un barrio de una raíz real ; si la multiplicidad es impar, el signo va a cambiar).

Answer 2

Por inducción sobre el grado (que por supuesto debe ser aún):

Suponga $f(x)\ge 0$ todos los $x\in \Bbb R$. A continuación, $f$ tiene un mundial mínimo, es decir, no existe $x_0\in \Bbb R$ $f(x)\ge f(x_0)=:a\ge 0$ todos los $x\in \Bbb R$. Considere la posibilidad de $f_1(x):=f(x)-a$. Si es cero, hemos terminado. De lo contrario, $x_0$ debe ser un múltiplo de la raíz (o tendríamos cambio de signo en $x_0$), es decir, $f_1(x)=(x-x_0)^2f_2(x)$ para algunos polinomio $f_2$ grado $<\deg f$. Tenemos $f_2(x)\ge 0$ todos los $x\ne x_0$ y por la continuidad también para $x=x_0$. Por hipótesis de inducción, $f_2$ es una suma de cuadrados, decir $f_2(x)=\sum g_i(x)^2$, y por lo tanto $$f(x)=\sqrt a^2+\sum \bigl((x-x_0)g_i(x)\bigr)^2$$