"Las dos nociones de acotación coinciden para espacios localmente convexos"

Question

Desde Wiki

La condición de acotación de los operadores lineales en espacios normados se puede replantear. Un operador está acotado si lleva todo conjunto acotado a un conjunto acotado, y aquí se entiende la condición más general de condición más general de acotación para conjuntos en un espacio vectorial topológico (TVS): un conjunto está limitado si y sólo si es absorbido por todas las vecindades de 0. Obsérvese que que las dos nociones de delimitación coinciden para espacios localmente convexos espacios convexos.

Me preguntaba a qué se refieren "las dos nociones de delimitación". En otras palabras, ¿sus definiciones?

¿Son para operadores entre TVS, o para subconjuntos de TVS?

Gracias y saludos.

Answer 1

Por lo que veo, la cita que das de la Wikipedia es, en el mejor de los casos, ambigua y errónea bajo una interpretación natural.

A continuación se explica brevemente la relación entre continuidad y acotación para mapas lineales entre espacios vectoriales topológicos:

Para un mapa lineal $L$ entre espacios vectoriales normados espacios $V$ y $W$ hay (al menos) dos condiciones naturales que se pueden imponer: que $L$ es continuo en el sentido topológico habitual, o que $L$ es limitado es decir, toma subconjuntos acotados en $V$ a subconjuntos acotados en $W$ . Resulta que estas dos condiciones coinciden (esto es un ejercicio fácil, utilizando la definición de la métrica en términos de la norma, y la linealidad de $L$ ).

En un espacio vectorial topológico arbitrario, también se puede definir la noción de subconjuntos limitados aunque la topología no está definida en términos de una norma, ni siquiera de una métrica, en general. La definición es la que se da en su cita de Wikipedia: un subconjunto $B$ está acotado si dada cualquier vecindad $U$ del origen, existe un escalar $\lambda$ tal que $B \subset \lambda U$ . (Esto se suele redactar como en el párrafo que citas: $B$ es absorbido por $U$ .)

En un espacio normado, es fácil comprobar que esta noción coincide con la noción de subconjuntos acotados definida en términos de la norma.

Dado un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos, lo llamamos limitado si lleva conjuntos acotados en el dominio a conjuntos acotados en el codominio. Se comprueba fácilmente que los mapas lineales continuos son necesariamente acotados. Pero no es cierto en general que un mapa lineal acotado entre espacios vectoriales topológicos sea continuo.

Un espacio vectorial topológico localmente convexo $V$ se llama bornológico si cualquier mapa lineal acotado de $V$ a otro espacio vectorial topológico localmente convexo $W$ es necesariamente continua. La discusión anterior muestra que los espacios normados son bornológicos. (Pero, como ya se indicó, no todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos son bornológicos, aunque los más comunes sí lo son; por ejemplo, los espacios de Frechet lo son, y los límites inductivos localmente convexos de los espacios bornológicos son también bornológicos).

Answer 2

Son para subconjuntos de espacios lineales normados.

• En un espacio lineal normado un conjunto $X$ está acotado, si existe algún $C>0$ con $||x|| < C$ para todos $x \in X$ .
• Equivalentemente, un conjunto está acotado si es absorbido por toda vecindad de 0.

Así, un operador lineal sobre espacios normados es acotado, si mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados.

Esto motiva la definición para espacios vectoriales topológicos más generales: Un operador se llama limitado si mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados.

Este operador no necesita ser continuo, a diferencia de los espacios normados. Los espacios vectoriales topológicos en los que todos los operadores acotados son continuos se denominan espacios bornológicos .