Sí, se puede discutir la mecánica cuántica ordinaria basada en partículas puntuales utilizando la teoría cuántica de campos de 0+1 dimensiones (es decir, la mecánica cuántica) definida en la línea del mundo. De hecho, así es como empiezan varios libros de texto de teoría de cuerdas, incluido el de Polchinski.
Las funciones de Green $G(x,y)$ pueden calcularse como una "suma de Feynman sobre todas las líneas del mundo" tradicional y se asignan a la amplitud de transición para que la partícula pase de un punto a otro. Sin embargo, para hacer que las partículas puntuales interactúen, como en una QFT, se necesitan líneas de mundo singulares con uniones, que se parecen a los vértices de los diagramas de Feynman o a los diagramas completos. No es una coincidencia: ¡los diagramas de Feynman describen la topología de las líneas del mundo en las historias relevantes en las que las partículas puntuales se fusionan y se separan!
Una ventaja de la teoría de cuerdas, y una razón por la que en última instancia es finita UV, es que las hojas del mundo son suaves y no singulares incluso si las interacciones de las partículas (cuerdas) están permitidas, es decir, si las cuerdas se unen y se separan.
El impulso de la hoja mundial a lo largo del $\sigma$ dirección de la hoja del mundo se conoce como $L_0-\tilde L_0$ y este operador desaparece. Sólo los estados cuyo valor propio bajo este operador es cero son estados físicos de una cuerda (existen condiciones adicionales).
Hay una sencilla razón por la que el momento tiene que ser cero. La teoría de la hoja del mundo es una teoría bidimensional de la gravedad - porque la elección de las coordenadas $(\sigma,\tau)$ en la hoja del mundo es y tiene que ser no física (simetría de difeomorfismo). Y como en otras teorías de la gravedad, se puede derivar algo parecido a las ecuaciones de Einstein. En $d=2$ dimensiones, el tensor de Einstein $R_{ab}-Rg_{ab}/2$ es idénticamente igual a cero, por lo que las ecuaciones de Einstein se reducen a $$ T_{ab} = 0$$ lo que implica también que la densidad de momento $T_{++},T_{--}$ y el momento total también, entre otras cosas, tiene que desaparecer.
En la base de "excitaciones discretas de la cuerda", la condición $L_0-\tilde L_0=0$ para la desaparición del momento total se traduce en la condición de que la "excitación total de los cuantos que se mueven a la izquierda" sea la misma que para los "cuantos que se mueven a la derecha" para una cuerda cerrada (en esta ecuación pueden aparecer desplazamientos aditivos debido a la suma de todos los enteros, etc.). Para las cuerdas abiertas, la condición correspondiente no existe porque la simetría traslacional a lo largo del $\sigma$ dirección de la hoja del mundo se rompe explícitamente por los puntos finales de la cuerda abierta.
Una teoría general de la gravedad similar a la de Einstein siempre estaría mal definida a nivel cuántico debido a diversas divergencias. La teoría de la hoja del mundo que describe la teoría de cuerdas perturbativa es una teoría especial de gravedad cuántica de 1+1 dimensiones que evita este problema porque no contiene ningún grado de libertad físico del campo tensorial métrico. Esto se debe a que los tres componentes del tensor métrico $h_{\tau\tau},h_{\tau\sigma},h_{\sigma\sigma}$ puede ajustarse localmente a valores no singulares predeterminados mediante 3 parámetros que son funciones de $\sigma,\tau$ a saber, mediante dos parámetros para un difeomorfismo y un parámetro para el escalado de Weyl (diferente para cada punto). Por eso la simetría de Weyl es necesaria para la consistencia de la teoría de cuerdas en el formalismo covariante espaciotiempo-Lorentz. La simetría conforme es la simetría residual que queda del difeomorfismo y de las simetrías de Weyl, incluso después de haber gauge-fijado una forma privilegiada de la métrica de la hoja del mundo. Las transformaciones conformes son las que preservan los ángulos, es decir, preservan la métrica hasta un escalado de Weyl (que también se puede hacer porque es una simetría).
