Use la definición del derivado para esta pregunta.

Question

Diferenciar la función f(x)=x^3 en el punto a. El uso de la definición de la derivada para esta pregunta. Sé que la definición de la derivada es:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

La función de $f(x)=x^3$ Ahora a la derivada...

Sé que $h$$\Delta x$. Sé que $\Delta x$ $\Delta x = x_2-x_1 \implies x_2 = x_1 + \Delta x$

No estoy seguro de cómo obtener la derivada hacer para que la función tiene un exponente.

Aquí está mi intento:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{x^3(x+x^3+x^3)-x^3}{h}$$ Luego me dieron: $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{x^3(x + 2 x^3)-x^3}{2x^3}$$ Simplificado: $$f'(x) = \lim_{h\to 0}= x$$

Sé que hice algo mal, porque WolframeAlpha dice: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3 x^2$

Yo no veo donde es exactamente lo que hice mal. (Si el problema es obvio y yo no lo veo, lo siento, pero actualmente tengo ni idea de cómo solucionar esto.)

Answer 1

Usando la Identidad

PS

Podemos resolver el derivado de

PS

utilizando la definición de derivado

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\cdot b+b^2)$ $$$f(x)=x^3$ $$$f'(x) = \lim_{h\to0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$ $$$=\lim_{h\to0}\frac{(x+h-x)((x+h)^2+(x+h)\cdot(x)+x^2)}{h}$ $$$=\lim_{h\to0}((x+h)^2+(x+h)\cdot(x)+x^2)$ $

Answer 2

Si $f(x)=x^3,f(x+h)=(x+h)^3,$

$f(x+h)-f(x)=(x+h)^3-x^3=(x+h-x)\{(x+h)^2+(x+h)x+x^2\}=h\{(x+h)^2+(x+h)x+x^2\}$

Entonces,$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\frac{h\{(x+h)^2+(x+h)x+x^2\}}h$ $

$$=x^2+x^2+x^2$$ as $ h \ ne0$ as $ h \ to0 $

---

Alternativamente,$f(x+h)-f(x)=(x+h)^3-x^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3=h(3x^2+3xh+h^2)$

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}h=3x^2$$ as $ h \ ne0$ as $ h \ to0 $

Answer 3

¿De dónde viene este$x^3(x+x^3+x^3)$? Prefiere sustituir $(x+h)$ en lugar de$x$ cuando se aplique$f$:

PS