Continuación analítica de la función de Dirichlet

Question

Supongamos $\{a_n\}$ es una secuencia de números complejos tales que las sumas $A_n=a_1+\cdots+a_n$ satisfacer $$|A_n-nb|\leq Cn^{\sigma}$$ for all $n$, where $b\in\mathbb{C},C>0,0\leq\sigma<1$. Prove that the function $f(z)$ defined by $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{n^z}$$ for $\Re{z}>1$ has an analytic continuation to the region $\Re{z}>\sigma$ except for a simple pole of residue $b$ at $z=1$. ($\Re$ denota la parte real de un número complejo).

Quiero considerar $f(z)-b\zeta(z)$ y usar el teorema de que $\zeta(z)$ puede ser extendida a una analítica de la función en $\Re z>0$, excepto para un simple poste de $z=1$.

Answer 1

Tenemos $f(z) - b\zeta(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^z}$ donde $c_n=a_n-b$. La suposición de da $|c_1+\cdots+c_n| \le C n^\sigma$. Usted debe tener un teorema de la disposición que dice que en virtud de esa condición, $\sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^z}$ converge para todos los $z$$\Re z>\sigma$, lo que podría resolver su problema.

Para hacerlo a mano, vamos a $T(n) = c_1 + \cdots + c_n$. A continuación, para el real $x>\sigma$, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{T(n)-T(n-1)}{n^x} = \sum_{n=1}^\infty T(n) \bigg( \frac1{n^x} - \frac1{(n+1)^x} \bigg). $$ Por el valor medio teorema, $$ \frac1{n^x} - \frac1{(n+1)^x} = (n-(n-1))\frac {x}{\eta^{x+1}} = \frac x{\eta^{x+1}} $$ para algunos $\eta\in [n,n+1]$; en particular, es en la mayoría de las $x/n^{x+1}$. Por lo tanto $$ \bigg| \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^x} \bigg| \le \sum_{n=1}^\infty Cn^\sigma \frac x{n^{x+1}} = Cx \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{x+1-\sigma}}, $$ que converge al $x\ge\sigma$. Esto demuestra el deseado declaración al $z$ es real, pero usted debe tener acceso a un teorema que se deduce de la declaración completa (convergencia en el derecho-la mitad de avión).