Evaluación de valores de expectativa.

Question

Voy a indicar a los operadores con los sombreros. Supongamos que tenemos un operador de la forma $i[\hat p, \tan^{-1}(e^{\hat x})]$ y queremos calcular la amplitud de una transición de un estado a $|p_i\rangle$ para el mismo estado $|p_i\rangle$, como podría ocurrir en la dispersión elástica problemas. A continuación se presentan dos evaluaciones que parece que es correcta, pero llevar a dos resultados diferentes. Denotando $\hat f=\tan^{-1}(e^{\hat x})$,

1) \begin{equation} \begin{array}{lcl} \langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle&=& i\langle p_i|(\hat p \hat f-\hat f\hat p)|p_i\rangle =i\langle p_i|(p_i \hat f-\hat fp_i)|p_i\rangle\\ &=&i\,p_i\langle p_i|(\hat f-\hat f)|p_i\rangle=0 \end{array} \end{equation}

2) \begin{equation} \begin{array}{lcl} \langle p_i|i[\hat p, \hat f]|p_i\rangle&=&i \langle p_i|\left(-i\hbar\frac{\partial \hat f}{\partial x}\right)|p_i\rangle =\hbar\langle p_i| \frac{e^{-\hat x}}{1+e^{-2\hat x}}|p_i\rangle\\ &=&\hbar\langle p_i| \int dx |x\rangle \langle x| \frac{e^{-\hat x}}{1+e^{-2\hat x}}|p_i\rangle =\hbar\int dx \frac{e^{- x}}{1+e^{-2 x}} \langle p_i| x\rangle \langle x |p_i\rangle\\ &=&\hbar\int dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}} \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{2\pi \hbar}}\frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{2\pi \hbar}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}}\\ &=&\frac{1}{2\pi}\,\frac{\pi}{2}=\frac{1}{4} \end{array} \end{equation} La integral en la evaluación 2) puede encontrarse en Jeffrey, Eq. (11), Seg 15.3.1 .

Elegí la forma de $\hat f$ a traer los resultados deseados, pero la pregunta es general. Muchas otras formas más simples pueden ser empleados para llevar similares resultados discordantes.

Por otra parte, los resultados pueden ser generalizados diciendo que: desde la primera evaluación, el resultado es siempre cero, a partir de la segunda evaluación, el resultado siempre es $\propto f\big|_{x=+\infty}-f\big|_{x=-\infty}$.

¿Qué hago mal?

Answer 1

(1) se Ve mal, simplemente porque no se aplican los operadores en el estado $|p\rangle$ correctamente. Los operadores de la ley de derecha a izquierda, así que usted debe conseguir: $$ \left(\hat{p}\hat{f}-\hat{f}\hat{p}\right)|p\rangle=\hat{p}\hat{f}|p\rangle-\hat{f}\hat{p}|p\rangle =\hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)-\hat{f}\left(\hat{p}|p\rangle\right) \etiqueta{1} $$ debido a $\hat{f}$ necesidades para actuar en $|p\rangle$ antes de la ley de $\hat{p}$. El primer término de la izquierda de la segunda línea (y no constantes) es realmente $$ \hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( f|p\rangle\right)=\frac{\partial f}{\partial x}|p\rangle+fp|p\rangle\neq pf|p\rangle\etiqueta{2} $$ que no es lo que han supuesto.

El (2) parece correcto porque es el uso de la cuántica, análogo al corchete de Poisson para definir el colector: $$ [\hat{p},\,\hat{f}]=i\hbar\left(\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{x}}\,\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{p}}-\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{p}}\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{x}}\right)=-i\hbar\frac{\partial\hat{f}}{\partial x}\etiqueta{3} $$ debido a $\partial\hat{f}/\partial\hat{p}=0$.

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EDITAR

La correcta definición del impulso del operador $$ \hat{p}=-i\manejadores\frac{\partial}{\partial x} $$ Por lo tanto, aplicando la falta constantes a (2) y restando el $fp|p\rangle$ plazo de (1), obtenemos $$ -i\manejadores\frac{\partial f}{\partial x} $$ que es la misma cosa que la ecuación (3). Por lo tanto, no hay ninguna paradoja debido a que no fueron correctamente la aplicación de sus operadores.

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EDIT 2

El problema OP tiene es en la confusión acerca de operador de pedidos. Cuando los operadores actúan sobre bras, debemos tomar la (Hermitian) adjoint de los operadores: $$ \langle p|\sombrero de p\hat f|p\rangle=\left(\langle p|\sombrero de f^\daga\hat p^\daga\right)|p\rangle\neq \left(\langle p|\sombrero de p\right)\hat f $$ cuando se utiliza el medio plazo, una ecuación similar para mi la Ecuación (2) se obtiene (es decir, ket sustituido por un sujetador).

Answer 2

El problema está mal planteado desde cero porque $|p_i\rangle$ no es un elemento del espacio de Hilbert y, a fortiori, no pertenecen al dominio de $\hat{p}$. El mismo problema surge cuando se considera $\hat{f}|p_i\rangle$.

Como cuestión de hecho, rigurosamente hablando, $\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$ no existe. Desde el punto de vista matemático, el problema se detiene aquí, ya que ex falso quodlibet.

Sin embargo se puede decir algo con una adecuada interpretación de $\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$. Ingenuamente, sino que directamente se puede dar esta interpretación, la omisión de señales no esenciales y constantes, $$\langle p_i|[\hat p,\hat f]|p_i\rangle= i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} \left(\frac{d}{dx} f(x) e^{ip_ix}\right) dx - i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} f(x)\frac{d}{dx} e^{ip_ix} dx\:. \quad [1]$$ Esta integral puede ser calculada y produce el resultado (2). El resultado (1) no se puede obtener con este sencillo interpretación del formalismo, porque se basa en el marco formal de la auto-adjointness de $i\frac{d}{dx}$, que es la identidad: $$i \int_{\mathbb R} \psi(x) \frac{d}{dx} g(x) dx = i\int_{\mathbb R} \left( \frac{d}{dx}\psi(x)\right) g(x) dx \quad [2]$$ Esta identidad, de hecho tiene para algunas clases de funciones $\psi,g$ (en algunos casos también si $\psi, g$ no pertenecen a $L^2(\mathbb R)$). Comparando con el primer término en el lado derecho de [1], tenemos que debería ser, $$g(x) = f(x) e^{ip_ix} \quad \psi(x) = e^{-ip_ix}\:.$$ Sin embargo, estas funciones han sido corregidos sólo para hacer falsas [2]!

Answer 3

No es una respuesta directa a su caso, pero algunas observaciones pertinentes. Sin embargo, es demasiado largo para publicarlo en un comentario.

Consideramos que una situación similar, (omito los sombreros)

$$\langle p | [x,p] | p \rangle \tag{1} $$

Hay dos formas de calcular la expectativa de (1).

La primera, $$ \langle p | xp -px | p \rangle = p ( \langle p|x|p \rangle - \langle p|x|p \rangle) =0 \tag{2} $$

La segunda, $$\langle p | i | p \rangle = i \delta(0) = i \infty \tag{3} $$

Hay una incoherencia. El problema es, $$\langle p |x|p \rangle = \int \int dx dx' \langle p|x \rangle \langle x| x| x '\rangle \langle x'| p\rangle = \int x dx = \infty -\infty \tag{4} $$, lo que está mal definida, a menos que recoger el valor del capital.

Podemos hacer un cálculo más conservador en la línea de la primera aproximación,

$$ \lim_{p'\rightarrow p} \langle p | [x,p] | p' \rangle = \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \langle p | x | p' \rangle = i \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \frac{ \partial}{\partial p} \delta(p-p') = i \lim_{p'\rightarrow p} \delta (p - p') = i \delta(0) \tag{5} $$

Todo lo que es consistente ahora.

Creo que la situación es similar para $f=ArcTan(e^x)$, a pesar de que yo no trabajo fuera de la integral en $\lim p' \rightarrow p $ enfoque.

Answer 4

Yo creo que he encontrado una respuesta que, al menos para mí, es más que satisfactorio.

La transición de las amplitudes de un estado $|a\rangle$ para el mismo estado $|a\rangle$ hacer pleno sentido si estoy tratando con un estado asociado, cuya función de onda es de cuadrado integrable. Todos los problemas que he señalado no va a suceder con enlazados (cuadrado integrable) de los estados. Por otro lado, si me ocupo de un estado libre, cuyo número cuántico es continuo, voy a tener que insertar en general un estado diferente para el estado final. He señalado la dispersión de los problemas, pero en la dispersión de los problemas de la dispersos estado $|p_ f\rangle$ está dispuesto a ser, en general, diferente con respecto al estado inicial, aunque su energía es a veces el mismo.

Uno también puede ser tentado a considerar $\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$ ya que la expectativa de valor de que el operador $V(\hat x)$ en el estado $|p_i \rangle$. Sin embargo, de que se ve mal de nuevo, si el estado no es cuadrado integrable, como $|p_i \rangle$. En efecto, supongamos que queremos obtener la expectativa de valor de que el operador $\hat p$ en el estado $|p_i \rangle$. Naturalmente queremos que el resultado del ser $p_i$. Esto no sucederá si escribimos la expectativa de valor como $$ \langle p_i|\sombrero p|p_i \rangle=p_i\delta(0)=+\infty $$ puesto que los estados no son de cuadrado integrable. Lo mejor que se puede obtener es mediante la inserción de un final de otro estado y obtener la distribución de $$ \mathcal{D}=\langle p|\sombrero p|p_i \rangle=p\delta(p-p_i) $$ así que si integradas obtenemos el resultado deseado: $$ <p>=\int \mathcal{D} \,d\!p=p_i~, $$ donde $<p>$ significa aquí "valor medio de p".

En mi opinión, cuando se trata de la densidad de las matrices y sus huellas en (x,p) espacio cuántico, también hay que hacerlo con cuidado, teniendo en cuenta lo anterior.

En general, ahora no veo más la necesidad de considerar los elementos del tipo $\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$, cualquiera que sea el potencial, si $|p_i\rangle$ no es cuadrado integrable. En la teoría de la perturbación, que es lo que más me necesita, el primer término de la Dyson serie de lecturas de $\langle p_f|p_i \rangle$ y se establece a cero, ya que suponemos $p_f \neq p_i$. Si no nos suponga que, todo lo que vuela al infinito en el orden cero y eso es lo que no queremos.

EDITADO:

Para enfatizar lo que quiero decir, me deja reconsiderar mi ecuaciones con cuadrado integrable estados: \begin{equation} \langle p_i|x\rangle = \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;,\; \langle x|p_i\rangle = \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;, \end{equation} donde $V$ es la integración "Volumen" en 1D (que alguien podría querer llamarlo $V^{1/3}$). La ecuación (1) se lee como es, mientras que la Eq. (2) ahora lee: \begin{equation} \begin{array}{lcl} \langle p_i|i[\hat p, \hat f]|p_i\rangle&=& \hbar\int dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}} \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}} =\frac{\hbar}{V}\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}}\\ &=&\frac{\hbar}{V}\,\frac{\pi}{2}=0 ~,\qquad (1.1) \end{array} \end{equation} y la diferencia ha ido. Los estados en (1.1) son, probablemente, una buena aproximación de Gauss estado con grandes espacial de ancho, que es lo que queremos conseguir en la costumbre de los experimentos. Por tanto, espero que $\approx 0$ es el resultado nos íbamos a encontrar. Como cuestión de hecho, un cálculo riguroso con Gaussiano los estados (que son de cuadrado integrable) sería interesante. Podríamos enviar la distribución espacial de ancho para valores grandes para ver cómo la expectativa de valor se comporta. Voy a ver si puedo hacerlo en los siguientes días.