máximo de un movimiento browniano y su integral

Question

Dejemos que $W_{t}$ sea un movimiento browniano y $$ W^{*}_{t} = \max_{s<t} W_{s} $$

Entonces, ¿puede explicar por qué tenemos esto? $$ (W^{*}_{t} - W_{t})dW^{*}_{t} = 0 $$

Answer 1

Proceso $W_t^\ast = \max_{s < t} W_s$ es caglad (continua a la izquierda con el límite a la derecha) constante a trozos:

Por lo tanto, intuitivamente hablando, $\mathrm{d} W_t^\ast$ es mayoritariamente cero. En los puntos de discontinuidad de $W_t^\ast$ el proceso de Wiener $W_t$ cruza $W_t^\ast$ desde abajo, lo que significa que $W_t^\ast = W_t$ . Ahora bien, si esto hace que el producto $(W_t-W_t^\ast) \mathrm{d} W_t^\ast$ cero depende de los detalles de lo que se entiende por $\mathrm{d}W_t^\ast$ que usted no ha proporcionado.