¿Cómo muestro que$\sum_{k = 0}^n \binom nk^2 = \binom {2n}n$?

Question

PS

Sé cómo "probarlo" por interpretación (utilizando la definición de coeficientes binomiales), pero ¿cómo lo demuestro realmente ?

Answer 1

No estoy seguro si considera esta prueba analítica: escriba$D = d/dx$. De la regla de Leibniz , tenemos

\begin{align*} \frac{(2n)!}{n!} = D^n x^{2n} |_{x=1} &= D^n (x^n \cdot x^n) |_{x=1} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (D^k x^n)(D^{n-k} x^n) |_{x=1} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{n!}{(n-k)!} \frac{n!}{k!}. \end{align*}

Luego la identidad sigue dividiendo ambos lados por$n!$ y simplificándola.

Answer 2

Una prueba combinatoria

¿De cuántas maneras podemos elegir los objetos$n$ de una selección de$2n$?

Considera que los objetos$2n$ son$$(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), \dots, (n, 1), (n, 2)$ $

Luego, la cantidad de formas en que podemos seleccionar$n$ de estas es igual a la cantidad de formas en que podemos seleccionar$n$ según la cantidad que seleccionamos con la segunda coordenada$1$. Es decir,$$\sum_{k=0}^n \text{ways to select $ k$ with $ 1$-coordinate} \times \text{ways to select $ nk$ with $ 2$-coordinate}$ $

El sumando es claramente$$\binom{n}{k} \times \binom{n}{n-k}$ $ Pero eso es$$\binom{n}{k} \times \binom{n}{k} = \binom{n}{k}^2$ $

Answer 3

Una prueba analítica compleja (~ algebraica)

Por $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\sum\limits_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\,\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}=\frac{(1+z)^n}{z}\,\sum\limits_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\,\frac{1}{z^k}=\frac{(1+z)^n}{z}\,\left(1+\frac{1}{z}\right)^n=\frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}$. Por lo tanto, si$\gamma$ es una curva que gira en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen una vez, entonces $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n\,\binom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\,\binom{n}{k}&=\sum\limits_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\,\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\,\oint_{\gamma}\,\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}\,\text{d}z\right) \\&=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\,\oint_{\gamma}\,\sum\limits_{k=0}^n\,\binom{n}{k}\,\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}\text{d}z \\&=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\,\oint_{\gamma}\,\frac{(1+z)^{2n}}{z^{n+1}}\text{d}z=\binom{2n}{n}\,. \end {align} $$

Answer 4

Para demostrar binomio identidades a menudo es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$. Así, podemos escribir por ejemplo \begin{align*} \binom{n}{k} = [x^k](1+x)^n\tag{1} \end{align*}

Tenga en cuenta que este es esencialmente el mismo enfoque que el de @Batominovski pero con un poco más algebraicas ven y se sienten.

Obtenemos \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2&=\sum_{k=0}^{n}[x^k](1+x)^n[t^k](1+t)^n\tag{2}\\ &=[x^0](1+x)^n\sum_{k=0}^{n}x^{-k}[t^k](1+t)^n\tag{3}\\ &=[x^0](1+x)^n\left(1+\frac{1}{x}\right)^n\tag{4}\\ &=[x^n](1+x)^{2n}\tag{5}\\ &=\binom{2n}{n} \end{align*}

Comentario:

• En (2) utilizamos el coeficiente de operador dos veces de acuerdo a (1)

• En (3) se utiliza la linealidad del coeficiente de operador y la regla de $$[x^n]x^{-k}P(x)=[x^{n+k}]P(x)$$

• En (4), usamos la sustitución de la regla y se aplican $x\rightarrow \frac{1}{x}$ \begin{align*} P(x)&=\sum_{k=0}^na_kx^k=\sum_{k=0}^nx^k[t^k]P(t)\\ P\left(\frac{1}{x}\right)&=\sum_{k=0}^na_kx^{-k}=\sum_{k=0}^nx^{-k}[t^k]P(t) \end{align*}

• En (5) utilizamos $\left(1+\frac{1}{x}\right)^n=x^{-n}(1+x)^n$ $[x^0]x^{-n}=[x^n]$