$\forall x,y>0, x^x+y^y \geq x^y + y^x$

Question

Demostrar que $\forall x,y>0, x^x+y^y \geq x^y + y^x$

Un amigo mío me dijo que ninguno de los maestros en mi escuela han tenido éxito en la demostración de este aparentemente simple de la desigualdad (se preguntaron en un examen oral el año pasado). He probado a mí mismo, pero he hecho ningún progreso significativo.

Answer 1

WLOG, vamos a $x \ge y$.

Caso 1: Vamos a $x \ge 1$, entonces para $t > 0$, $x^t \log x \ge y^t \log y$ $$\implies \int_y^x \left(x^t \log x - y^t \log y \right)dt \ge 0 \implies (x^x - x^y) - (y^x-y^y) \ge 0$$

Agregó
Caso 2: Para $x< 1$ - deje $r = \dfrac{x}y\ge 1$. Entonces la desigualdad es: $$\frac{y^x}{x^y+y^x}r^x+\frac{x^y}{x^y+y^x}\frac1{r^y} \ge 1$$

El uso ponderado de AM-GM, esto se reduce a mostrar: $$xy^x \ge yx^y \iff \frac{\log x}{1-x} \ge \frac{\log y}{1-y}$$ lo que es obvio.

Answer 2

Desde la declaración es simétrica en $x$$y$, es suficiente para mostrar: fijo $y>0$, la cantidad de $x^x+y^y-x^y-y^x$ es no negativa para $x\ge y$. Y ya que esta cantidad se desvanece en $x=y$, es suficiente para mostrar que es el aumento de $x\ge y$. Pero su derivada (con respecto a $x$) es $$ x^x \log x + x^x - yx^{y-1} - y^x\log y = (x^x \log x - y^x \log y) + (x^x - yx^{y-1}); $$ ahora es suficiente para mostrar que ambas cantidades entre paréntesis son positivos para $x\ge y>0$.

Pero fijo $x>0$, las funciones de $t^x\log t$ $tx^{t-1}$ son el aumento de las funciones de los positivos de la variable $t$: la derivada de la primera función es $t^{x-1}+t^x\log^2t$ que es claramente positiva; mientras que la derivada de la segunda función es la de $x^{t-1}+tx^{t-1}\log t$, lo cual es positivo porque $t\log t \ge -e^{-1} > -1$ todos los $t$. En particular, de sus valores en $t=x$ superan sus valores en $t=y$, lo que confirma que ambas cantidades son positivas.

EDIT: de alguna manera, yo tengo dos de estos últimos derivados del mal, como LeGrandDODOM señaló. El real derivados de $t^x\log t$ $tx^{t-1}$ son, respectivamente, $t^{x-1}(x\log t+1)$$x^{t-1}(t\log x+1)$, ninguno de los cuales está obligado a ser positivo. Estoy haciendo esta respuesta wiki de la comunidad en caso de que otros puedan ver cómo rescatar la idea.