La singularidad de la función exponencial

Question

A mi conocimiento, la función exponencial es la única función de la satisfacción de

$f'=f$ y $f(0)=1$

sin embargo, a menos de que he cometido un error, tenemos

$$\frac{\partial}{\partial x} (ax)^x = x (ax)^{x-1} a = ax (ax)^{x-1} = (ax)^x$$

y

$$(a0)^0 = 0^0 =1$$

así que me siento como que me debe faltar algo especial acerca de $e^x$. Los punteros sería muy apreciada.

Answer 1

Usted diferenciadas $x^x$ mal. De hecho,

$$ (x^x)' = (e^{x \log x})' \overset{\text{chain rule}}{=} [x \log x]' e^{x\log x} = (\log x +1 )x^x$$

La regla de $[x^n]' = n x^{n-1}$ sólo se aplica al $n$ es un fijo constante.

Answer 2

Has cometido un error. Distribuir $x $

$(ax)^x = a^x x^x $

Ahora lo que he escrito para la derivada ser verdad?

Answer 3

La regla de que $\dfrac d{dx} x^n = nx^{n-1}$ tiene al $n$ es constante, es decir, $n$ no cambia como $x$ cambios. En el caso de $(ax)^x$, el exponente de los cambios como $x$ cambios, y el poder de la regla no es aplicable. Usted puede utilizar diferenciación logarítmica en tal caso.

Answer 4

El más simple de los errores en su derivación es $0^0 = 1$. Que es incorrecta. $0^0$ es indefinido (es el mismo de la $0/0$).