Expresión matemática para el mapa de $[0,1]$ $S^2$

Question

Un espacio topológico es llamado arcwise conectado si, por cualquier de los puntos de $x,y\in X$, no existe un mapa continuo $f: [0,1]\rightarrow X$ tal que $f(0)=x$$f(1)=y$. Aunque es intuitivamente comprensible, pero ¿cómo se hace un mapa matemáticamente para $S^2$?

De acuerdo a esta definición hay manera de demostrar que $SU(2)$ está conectado pero $O(3)$ es no? Como puedo cambiar continuamente los parámetros del grupo (hasta sus rangos) puedo mostrar en el primer caso que se me puede llegar a todos los puntos de la $SU(2)$ colector y en el caso de $O(3)$ I no puede agotar todos los puntos? Sólo esto puede ser la naturaleza de la conexión, en esta definición, ¿Verdad?

Answer 1

$f:[0,1]\to S^2$ $f(x)=(\sin x\cos x,\cos^2 x,\sin x)\in S^2$ , creo que es muy fácil de comprobar ahora de tomar cualquier dos punto arbitrario de la esfera y conectar por un camino como el $tx+(1-t)y;x,y\in S^2$

Answer 2

(Esta respuesta fue escrito a la dirección de la original versión de la pregunta, antes de que el segundo párrafo fue añadido.)

Como un ejemplo, en $S^2$ siempre es posible definir una coordenada parche

$$\psi:S^2\rightarrow R^3$$

el uso típico de coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$, definido de tal forma que $\psi(x)=(1,0,0)$$\psi(y)=(1,0,\phi_y)$. Las coordenadas del parche puede ser definido en todas partes en $S^2$ excepto en algunos barrios de los polos. Como cualquier coordinar parche, $\psi$ es inyectiva (aunque no es surjective), por lo $\psi^{-1}$ se define en $\psi$'s de la imagen. A continuación, el más simple posible definición para el mapa de $f$ el uso de esas coordenadas sería

$$f(\lambda)=\psi^{-1}(1,0,\lambda \phi_y)\ .$$

Por supuesto, hay otras muchas posibles maneras de definir a $f$, que toman la imagen de $f$ a lo largo de las distintas rutas de $S^2$$x$$y$.