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Expresión matemática para el mapa de [0,1][0,1] S2S2

Un espacio topológico es llamado arcwise conectado si, por cualquier de los puntos de x,yXx,yX, no existe un mapa continuo f:[0,1]Xf:[0,1]X tal que f(0)=xf(0)=xf(1)=yf(1)=y. Aunque es intuitivamente comprensible, pero ¿cómo se hace un mapa matemáticamente para S2S2?

De acuerdo a esta definición hay manera de demostrar que SU(2)SU(2) está conectado pero O(3)O(3) es no? Como puedo cambiar continuamente los parámetros del grupo (hasta sus rangos) puedo mostrar en el primer caso que se me puede llegar a todos los puntos de la SU(2)SU(2) colector y en el caso de O(3)O(3) I no puede agotar todos los puntos? Sólo esto puede ser la naturaleza de la conexión, en esta definición, ¿Verdad?

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chris Puntos 6

f:[0,1]S2f:[0,1]S2 f(x)=(sinxcosx,cos2x,sinx)S2f(x)=(sinxcosx,cos2x,sinx)S2 , creo que es muy fácil de comprobar ahora de tomar cualquier dos punto arbitrario de la esfera y conectar por un camino como el tx+(1t)y;x,yS2tx+(1t)y;x,yS2

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Red Act Puntos 118

(Esta respuesta fue escrito a la dirección de la original versión de la pregunta, antes de que el segundo párrafo fue añadido.)

Como un ejemplo, en S2S2 siempre es posible definir una coordenada parche

ψ:S2R3ψ:S2R3

el uso típico de coordenadas esféricas (r,θ,ϕ)(r,θ,ϕ), definido de tal forma que ψ(x)=(1,0,0)ψ(x)=(1,0,0)ψ(y)=(1,0,ϕy)ψ(y)=(1,0,ϕy). Las coordenadas del parche puede ser definido en todas partes en S2S2 excepto en algunos barrios de los polos. Como cualquier coordinar parche, ψψ es inyectiva (aunque no es surjective), por lo ψ1ψ1 se define en ψψ's de la imagen. A continuación, el más simple posible definición para el mapa de ff el uso de esas coordenadas sería

f(λ)=ψ1(1,0,λϕy) .f(λ)=ψ1(1,0,λϕy) .

Por supuesto, hay otras muchas posibles maneras de definir a ff, que toman la imagen de ff a lo largo de las distintas rutas de S2S2xxyy.

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