Tenga en cuenta que el problema habitual, y muy difícil si usted no sabe qué esperar, es un poco diferente, https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping#Example_2
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Definir entero $k \geq 3$
$$k = \frac{x^2+y^2-1}{xy}$$
Estamos resolviendo
$$ x^2 - kxy + y^2 = 1. $$
El discriminante de la forma cuadrática es $\Delta = k^2 - 4$ cual es positivo, pero no un cuadrado. Como resultado, si podemos solucionar $\tau^2 - \Delta \sigma^2$ podemos construir el generador de la (orientado) automorphism grupo de la forma. Ahora, $k^2 - \Delta = 4,$ $\tau = \pm k, \sigma = \pm 1.$
Se le da forma (positiva rectangulares discriminante) de los coeficientes de $\langle A,B,C\rangle$ podemos tomar el generador (en $SL_2 \mathbb Z$) como
$$
\left(
\begin{array}{rr}
\frac{\tau - B \sigma}{2} && -C \sigma \\
A \sigma && \frac{\tau + B \sigma}{2}
\end{array}
\right)
$$
Con $\langle A,B,C\rangle = \langle 1,-k,1\rangle$ tenemos
$$ U =
\left(
\begin{array}{rr}
k && -1 \\
1 && 0
\end{array}
\right)
$$
y se quede con este, como conveniente para mantener a $x \geq y \geq 0.$
La transformación de una solución de $(x,y)$ a que la siguiente es la multiplicación de la matriz con el vector de columna $(x,y)^T$ a la derecha. Es decir,
$$ \color{blue}{ (x,y) \mapsto (kx-y, x)}. $$
Las primeras soluciones con $k \geq 3$
$$ (1,0), $$
$$ (k,1), $$
$$ (k^2 - 1,k), $$
$$ (k^3 - 2k,k^2 - 1), $$
$$ (k^4 - 3 k^2 + 1,k^3 - 2k). $$
Oh, tan lejos como de división real, $(1,0)$ no es legal en la fracción original. La vida es así.
Vamos a tratar de $k=3$ en la fracción:
$(3,1)$ da $9/3 = 3.$ $(8,3)$ da $72/24 = 3.$
La última cosa es de Cayley-Hamilton. La matriz puse el nombre de $U$ por encima satisface $U^2 - k U + I = 0,$ o $U^2 = kU - I.$ Como resultado de ello, tanto en $x$ $y$ satisfacer lineal recurrencias,
$$ x_{j+2} = k x_{j+1} - x_j, $$
$$ y_{j+2} = k y_{j+1} - y_j. $$
De nuevo con $k=3, $obtenemos $x$ en
$$ 1, 3, 8, 21, 55, 144, $$
Tenga en cuenta que estos son cada segundo número Fibonacci.
Con $k=4, $obtenemos $x$ en
$$ 1, 4, 15, 56, 209, 780, $$
Con $k=5, $obtenemos $x$ en
$$ 1, 5, 24, 115, 551, 2640, $$
Con su $k=2$ $x^2 - 2xy + y^2 = 1,$ o $(x-y)^2 = 1,$ o $x-y = \pm 1.$
