¿Por qué las únicas álgebras de división sobre los números reales son los números reales, los números complejos y los cuaterniones?

Question

¿Por qué las únicas álgebras de división (asociativas) sobre los números reales son los números reales, los números complejos y los cuaterniones?

En este caso, un álgebra de división es un álgebra asociativa en la que cada número distinto de cero es invertible (como un campo, pero sin asumir la conmutatividad de la multiplicación).

Este es un viejo resultado demostrado por Frobenius, pero no recuerdo cómo va el argumento. ¿Alguien tiene una prueba rápida?

Answer 1

Esencialmente se prueba primero que cualquier álgebra de división real $D$ es un álgebra de Clifford (es decir, está generada por elementos de algún espacio vectorial de producto interior I sujeto a las relaciones $v^2=\langle v, v\rangle$ ): el primero se divide $D$ como $\mathbb R\oplus D_0$ donde $D_0$ es el espacio de elementos con $Tr=0$ y entonces se observa que el polinomio mínimo de un elemento sin traza tiene la forma $x^2-a=0$ (es cuadrática porque es irreducible y el coeficiente de $x$ es cero porque es la traza). Ahora queda averiguar qué álgebras de Clifford son álgebras de división, lo cual es bastante sencillo (bueno, y se deduce de la clasificación de las álgebras de Clifford).

Esta prueba se escribe en Wikipedia.

Answer 2

Existe una demostración sencilla del teorema de Frobenius en el libro de Lam sobre anillos no conmutativos, pp. 208--209. Atribuye el argumento a Palais.

Hay que considerar este teorema como dos teoremas: (1) $\mathbb C$ es el único $\mathbb C$ -álgebra de división central y (2) $\mathbb R$ y $\mathbb H$ son los únicos $\mathbb R$ -álgebras de división central. La razón de que haya tan pocas opciones es que $\mathbb C$ es alg. cerrado y $\mathbb R$ es casi así. Las álgebras de división con centro igual a un campo particular pueden crearse utilizando extensiones cíclicas de Galois* y puesto que $\mathbb Q$ tiene tales extensiones de arb. alto grado hay $\mathbb Q$ -división central alg. de arb. alta dimensión.

*Existen otras condiciones técnicas que deben cumplirse en la extensión cíclica para que funcione la construcción de un álgebra de división, por ejemplo, un campo finito tiene una extensión cíclica de cada grado pero no existen alg. div. centrales de $\dim > 1$ sobre un campo finito. Las condiciones técnicas pertinentes se cumplen cuando el campo base son los números racionales.

Answer 3

Escribiré una respuesta que utilice el grupo de Brauer.

En $\mathbb C$ es el cierre algebraico de $ \mathbb R$ , $Br(\mathbb R)=Br(\mathbb C / \mathbb R)$ . También sabemos $Br(\mathbb C / \mathbb R) \cong H^2(Gal(\mathbb C / \mathbb R), \mathbb C ^{\times} )\cong \hat H^0(Gal(\mathbb C / \mathbb R),\mathbb C ) $ . Aquí $\hat H $ representa el grupo de cohomología de Tate y el segundo isomorfismo es cierto porque $Gal(\mathbb C / \mathbb R)$ es cíclico (es $\mathbb Z /2 \mathbb Z $ ).

Por lo tanto, está claro que las únicas álgebras de división central sobre $\mathbb R $ son $\mathbb{R}$ y $ \mathbb H $ .

Si $D$ es un álgebra de división sobre $ \mathbb R$ cuyo centro no es $\mathbb{R}$ entonces como es un campo algebraico sobre $\mathbb R$ ), $ \mathbb C =Z(D) $ . Así que $D $ es un álgebra de división sobre $\mathbb C $ lo que implica $\mathbb C = D $ .

Answer 4

Existe otra prueba que utiliza la teoría de las álgebras centrales simples y las álgebras de cuaterniones.

Denote por $D$ tal álgebra de división. Obsérvese que un álgebra de división es siempre simple. Además, como el centro de un álgebra de división es un campo, $D$ es central simple sobre $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ .

Como no existe un álgebra de división no trivial sobre un campo algebraicamente cerrado, $D$ debe ser $\mathbb{C}$ si $Z(D)=\mathbb{C}$ .

Por lo demás, $D$ es central simple sobre $\mathbb{R}$ entonces $\mathbb{C}$ divide $D$ . Por lo tanto, obtenemos lo siguiente: $$ \sqrt{\mathbf{dim}_{\mathbb{R}}(D)} = \mathbf{ind}_{\mathbb{R}}(D)|[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2 $$ $D$ no es trivial, por lo que la dimensión de $D$ es 4. Entonces $D$ debe ser $\mathbb{H}$ por el teorema de Wedderburn.