Cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}$

Question

Hallar la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}$ .

He demostrado que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ es contable . Pero no puedo encontrar la cardinalidad del conjunto en el caso de $\mathbb{R}$ .

Mi intento:

Primero he considerado el conjunto $$A_k=\{\{a_1, a_2, ..., a_k\}| a_i \in \mathbb{R} \ and\ a_1<...<a_k \}$$

Entonces $S=$ El conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ ,
y ahora en el caso de $\mathbb{N}$ Podría demostrar que este $A_k$ es contable y, en consecuencia, el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ es contable.

Pero en este caso no puedo decir nada de esto... En este caso el conjunto será de la cardinalidad como la de $\mathbb{R}$ (creo). Pero no puedo probarlo.

Agradezco su ayuda. Gracias.

Answer 1

Podemos demostrar que $\#S \ge {c}$ a través de la inyección $f: \mathbb{R} \rightarrow S$ , $f(x) = \{x\}$ .

Si muestra $\#S \le c$ entonces se puede concluir $\#S = c$ invocando Teorema de Bernstein .

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Demostremos lo siguiente: dejemos que $X = \{X_k,\ k \in \mathbb{N}\}$ sea una familia de subconjuntos tal que $\#X_i \le c$ , $\ \forall i \in \mathbb{N}$ y que $V = \bigcup_{k\in \mathbb{N}}X_k$ . Entonces $\#V \le c$ .

Porque $\#X_i \le c$ tenemos para cada $i$ a surjective $f_i: \mathbb{R} \rightarrow X_i$ . Definimos $g: \mathbb{N} \times \mathbb{R} \rightarrow V$ , $g(n,x) = f_n(x)$ .

$g$ es una función suryectiva: sea $x \in V$ entonces $x \in X_i$ para algunos $i$ entonces tenemos $a \in \mathbb{R}$ tal que $f_i(a) = x$ porque $f_i$ es suryente. Entonces $g(i,a) = f_i(a) = x$ con $(i,a) \in \mathbb{N}\times\mathbb{R}$ .

Concluimos que $g$ es suryente.

Así, $\#V \le \#(\mathbb{N}\times\mathbb{R})$ esto es, $\#V \le c$ .

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Su conjunto $S$ satisface las hipótesis, por lo que tenemos $\#S \le c$ y por lo tanto $\#S = c$ .

Answer 2

Dejemos que $A$ sea un elemento del conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{R}$ que denotaremos simplemente por $\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})$

Afirmación : $\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\,^\omega\mathbb{R}$

Identificaremos $A$ con un $\omega$ -secuencia de elementos de $\mathbb{R}$ , es decir, y elemento de $^\omega\mathbb{R}$ de la siguiente manera:

Supongamos que $A=\{a_0,\dots,a_n\}$ . Entonces podemos construir un $\omega$ -secuencia $(b_k)_{k\in\omega}$ definido por:

$$b_k=\begin{cases} a_k\qquad\qquad\text{if }k\le n \\ a_n+1\qquad\text{ if }k>n \end{cases}$$

Está claro que la correspondencia $A\longmapsto(b_k)_{k\in\omega}$ es inyectiva.

Ahora, por un lado tenemos que $\mathbb{R}\preccurlyeq\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})$ porque la función $r\in\mathbb{R}\longmapsto\{r\}\in\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})$ es obviamente inyectiva.

Por otro lado, $\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\mathbb{R}$ ya que $\;\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})\preccurlyeq\,^\omega\mathbb{R}\;$ y $\;^\omega\mathbb{R}\preccurlyeq\mathbb{R}$ De hecho, $|^\omega\mathbb{R}|=\big(2^{\aleph_0}\big)^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$

A partir del therem de Cantor-Bernstein, obtenemos que $|\mathcal{P}_{<\omega}(\mathbb{R})|=|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$