Desramificación de ideales en campos cúbicos puros

Question

Necesito una explicación para esto. $K=\mathbb Q{\sqrt[3]{m}}$ sea un campo cúbico puro con un elemento no cuadrado $\alpha$ en $K$ tal que el ideal $(\alpha)$ es un cuadrado ideal en K. Sea $L=K(\sqrt{\alpha})$ sea una extensión cuadrática de K entonces por qué sólo primos por encima de 2 y $\infty$ se ramificará. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ sea un elemento de este tipo. $(\alpha) = \mathfrak p^2$ y la hipótesis sobre $\alpha$ dice que $\mathfrak p$ representa un elemento no trivial de orden $2$ en el grupo de clase ideal de $K$ .
La ampliación $L/K$ puede ser ramificado en los primos por encima de $2,\infty$ y en los primos presentes en la factorización de $\mathfrak p$ .

Ahora, en el grupo de clases ideales, cada clase ideal está representada por infinitos ideales primos. Así que podemos encontrar un ideal $\mathfrak q$ coprima con $\mathfrak p$ tal que $\mathfrak {pq} = (a)$ para algunos $a \in K$

Ahora, tenemos $(\alpha)\mathfrak q^2 = (a^2)$ Así pues, el establecimiento de $\beta = a^2/\alpha$ tenemos $\mathfrak q^2 = (\beta)$ , $L = K(\sqrt{\alpha}) = K(\sqrt{\beta})$ pero $K(\sqrt{\beta})$ sólo puede ramificarse por encima de los primos en $2$ et $\infty$ y en $\mathfrak q$ .

Desde $\mathfrak p$ et $\mathfrak q$ son coprimos, $L$ sólo puede ramificarse en los primos superiores a $2$ et $\infty$ .