¿Por qué las funciones de onda tienen que ser monovaluadas?

Question

En algunas situaciones, como la función de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno, debemos exigir que la función de onda $\psi(r,\theta,\phi)$ sea de un solo valor, es decir. $\psi\propto e^{i2\pi m\phi}(m\in\mathbb{Z})$ . Pero el resultado depende en gran medida de la simetría del sistema. ¿Existen funciones de onda multivaluadas que no violen los principios básicos de la mecánica cuántica?

Answer 1

Por lo que yo sé, siempre que tengas una función de onda definida en el "mundo real", tiene que ser monovaluada, es decir, tiene que volver a la misma expresión después de un $2\pi$ rotación (en el mundo real). En la vida real vemos que $2\pi$ las rotaciones son irrelevantes.

Sin embargo, este no es el caso de las funciones de onda definidas en espacios que no son nuestro espacio real, como el espacio de espín, por ejemplo. Los espinores cambian de signo después de un $2\pi$ por lo que, en este sentido, no tienen un único valor. También encontré un caso interesante cuando leía sobre fases geométricas en sistemas moleculares. Utilizando la aproximación de Born-Oppenheimer, la función de onda total se divide en una función de onda electrónica y otra nuclear. Como sólo la total está "en el espacio real", tiene que ser de un solo valor, pero la electrónica y la nuclear por separado no tienen esta restricción. Ambas pueden cambiar de signo tras una evolución cíclica, con la condición de que su producto siga siendo el mismo.

Espero que te ayude.

edit: por cierto, creo que el valor único de las cosas reales es la razón por la que el momento angular orbital siempre toma valores enteros, aunque la teoría general del momento angular también permite valores semienteros.

Answer 2

Las probabilidades se basan en el módulo de la función de onda, es decir, en $\psi^\star\psi$ . En principio, esto permite, por ejemplo, funciones de onda de momento angular de doble valor con

$$\psi(\phi+2\pi)=-\psi(\phi)$$

En la práctica, las funciones de espín de doble valor no son muy agradables, pero se han utilizado (Pavšic, M (2007). "Partícula rígida y su espín revisitados". Foundations of Phys. 37 (1): 40-79). Si su pregunta se refiere realmente a valores enteros del momento angular, véase Ballentine, L. E. (1998). Quantum Mechanics: A Modern Development. pp. 169-172 para un argumento que no se basa en la suposición de un solo valor, ni en las matemáticas más sofisticadas del álgebra de Lie mencionadas anteriormente por Silvia G.

Answer 3

Espero que no esté fuera de tema, pero creo que también puedo dar una explicación matemática (esbozada) de la diferencia entre las rotaciones en el espacio real y en el espacio de espín. En el espacio real tenemos una representación matricial tridimensional del grupo de rotación $SO(3)$ donde la rotación con $2\pi$ corresponde a la matriz identidad. En este caso, la función de onda es monovaluada.

Cuando se trata de 1/2 espín, partimos de una representación bidimensional del álgebra de Lie de $SO(3)$ las matrices de Pauli. Sin embargo, no puede exponenciarse a una representación del grupo porque éste no es simplemente conexo. Se exponenciará a una representación del grupo de cobertura universal de $SO(3)$ es decir, el grupo simplemente conectado $SU(2)$ . Y efectivamente esto conduce a una representación proyectiva de $SO(3)$ que es en realidad lo que queremos (tratamos con el espacio de estados, no con el espacio de Hilbert propiamente dicho). Ahora bien, $SU(2)$ es una doble cobertura de $SO(3)$ a grandes rasgos $SU(2)$ se compone de dos copias de $SO(3)$ . Rotación con $2\pi$ se envía a menos la matriz identidad, mientras que la rotación con $4\pi$ se envía a la matriz identidad. Ambas se proyectan al mismo elemento en $SO(3)$ . En este caso, la función de onda no es monovaluada, sino bivaluada.

Es una discusión similar con el grupo de Lorentz y $SL(2,\mathbb{C})$ . Los espinores de Dirac también cambian de signo en $2\pi$ rotaciones. El libro de B.Thaller "La ecuación de Dirac" proporciona una discusión rigurosa de lo que intenté decir aquí con grupos de cobertura y cambios de signo.

Answer 4

Es así porque en caso de que sea multivaluada, entonces dará lugar a diferentes probabilidades de encontrar la partícula en un punto dado del espacio en un momento dado, lo que no es posible.