Hyperreal medida?

Question

Si la CA de ser aceptado, entonces existe un Lebesgue medible conjunto se llama Conjunto de Vitali. Sin embargo, tengo curiosidad acerca de medida valorada en hyperreal números. Argumento en la refutación de unmeasurability de Vitali establece había utilizado el hecho de que ningún número real positivo contables infinito sumas finitas. Pero, ¿puede la Vitali los conjuntos de medida infinitesimal? A continuación, el contable infinito copia de su medida puede sumas sutible positivo finito.

Sin embargo, hay todavía un problema: $\mathbb Z$ es también una contables conjunto infinito de puntos, pero ha $0$ medida, mientras que Vitali conjunto distinto de cero. Así que no estoy seguro si es factible el uso de hyperreal medida Vitali conjunto medible.

Answer 1

Antes de que pueda reflexionar acerca de hyperreal valores de las medidas que hay algunos matices a tener en cuenta. Si $^*\mathbb R$ es de cualquier ampliación de $\mathbb R$ a continuación, con su orden natural, no es completa (que no es todos los delimitada por debajo de set tiene un infimum). Eso significa que cuando se utiliza hyperreals como el codominio de una función de la medida es que no está claro qué significaría para la medida countably aditivo.

Con eso en mente recordemos el contexto de la Vitali conjuntos. Buscando ampliar la noción de longitud de los intervalos buscamos una función de $\mu:\mathcal P(\mathbb R)\to V$ donde $V=[0,\infty]$, el cual asigna a cada intervalo de su longitud, es $\sigma$-aditivo, y la traducción invariante. Uno, a continuación, muestra la imposibilidad de tal medida mediante el Axioma de Elección para la construcción de un conjunto de Vitali.

Sin embargo, estas condiciones están apretadas. Si el Axioma de Elección no se sostiene, a continuación, una medida como la de arriba [no] puede existir (editar más Tarde: '¿' cambia a 'podemos' para reflejar los comentarios). Si cualquiera de traducción invariancia o $\sigma$-aditividad se ha caído, a continuación, de nuevo una medida existe. Y por supuesto, si $\mathcal P(\mathbb R)$ es reemplazado por el más pequeño $\sigma$-álgebra de Borel o Lebesgue establece a continuación, una medida con la de otras propiedades existe.

Ahora, para hyperreal valores de las medidas (selección de $V=^{*}[0,\infty ]$) uno no puede indicar $\sigma$-aditividad de cualquier manera sencilla, ya que requiere de la integridad (que no está presente). Así que, si sólo se requiere un hyperreal valores de medida $\sigma$-aditivo luego, por supuesto, Vitali conjuntos de convertirse medible como en la no-hyper caso. Pero esto probablemente no es bastante lo que te interesa.

Una respuesta más detallada a tu pregunta es dada en el artículo "Completamente aditivo de la medida y de la integración" por Shorb, Alan McK.

Answer 2

El conjunto de Vitali no puede ser medibles mediante la extensión de la medida a *R (la Hiper-reales). Una razón es que los contables de la suma no es (en general) definidos en el *R debido a su Dedekind Incompleta (como se señaló en la primera respuesta anterior). Pero esa no es la única razón. Incluso si se pudiera encontrar una forma de evitar que (tales como la búsqueda de otra extensión de R, que permitiría contables aditividad), el conjunto de Vitali no se pudo medir. La razón tiene que ver con la traducción de la invariancia.

Como ustedes saben, el estándar de la construcción de Vitali conjuntos de producir una contables colección de conjuntos que son congruentes modulo de traducción), pero cuya unión es [0,1). El objetivo aquí sería asignar a cada uno de Vitali establecer una medida de algunos de valor de e, tal que e + e + ... = 1. Sin embargo, estos mismos Vitali conjuntos pueden ser reordenadas (a través de la traducción) de modo que su unión es ahora [0,2). O [0,3). O [0,n). Así que ahora la misma ecuación e + e + e + ... = 2, u = n, o cualquier valor que desee. Traducción de invariancia es lo que realmente mata a esto, no solo contables de aditividad.

Si se le cae la traducción de la invariancia en la medida, entonces usted podría, de hecho, constantemente asignar una medida para cada uno de los Vitali, por lo que su suma es correcta. Usted ni siquiera necesita para ir a *R, una traducción de la variante de la medida con el estándar de reales podría ser suficiente para hacer todos los subconjuntos de R medible. Por desgracia, estas medidas son insuficientes, porque no se garantiza que el intervalo [x,y] siempre se ha de medir y-x.

Del mismo modo, si se le cae contables aditividad requisito (que sólo requieren aditividad finita), que siempre se puede definir el conjunto de Vitali como que tiene medida 0, y en el hecho de asignar medidas a cualquier subconjunto de R.

El más cercano que he visto a la consecución de este objetivo es el de Loeb Medida, una Medida no estándar con *valores de R, que tiene hyper-aditividad finita. Aún así, sus debilidades y restricciones hacen que sea muy poco atractivo (al menos para mí).