La prueba de la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty n^p(\sqrt{n+1}-2\sqrt n + \sqrt{n-1})$

Question

Yo estoy tratando de probar la convergencia de la serie

$$\sum_{n=1}^\infty n^p(\sqrt{n+1}-2\sqrt n + \sqrt{n-1})$$

$p$ fijo es un número real.

He probado el test del cociente de la integral de la prueba sin éxito. Ahora, estoy atascado con la cantidad entre paréntesis. No tengo idea sobre cómo tratar con el fin de obtener algo útil para trabajar con.

Me puedes dar una pequeña pista?

Gracias

Answer 1

Herramienta: Para todos los fijos $a$, cuando $x\to0$, $(1+x)^a=1+ax+\frac12a(a-1)x^2+o(x^2)$. En particular, el caso de $a=\frac12$ rendimientos $\sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac18x^2+o(x^2)$.

Para todos los fijos $c$, $$\sqrt{n+c}=\sqrt{n}\cdot\sqrt{1+\frac{c}n}=\sqrt{n}\cdot\left(1+\frac{c}{2n}-\frac{c^2}{8n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\right),$$ hence $$\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}=\sqrt{n}\cdot\left(1+\frac1{2n}-\frac1{8n^2}-2+1-\frac1{2n}-\frac1{8n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\right),$$ that is, $$\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\sim\sqrt{n}\cdot\frac{-1}{4n^2}=\frac{-1}{4n^{3/2}}.$$ se Puede terminar esto?

Answer 2

En esencia, el problema es determinar el orden de $$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}$$

Tring los dolores de truco de multiplicar por el conjuguate tenemos

$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n} =\frac{2\sqrt{n^2-1}-2n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n}}$$, a continuación, hacer lo mismo de nuevo obtenemos

$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n} =\frac{-2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n})(\sqrt{n^2-1}+n)}$$

Ahora el orden de $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n})(\sqrt{n^2-1}+n)$ $n^{\frac{3}{2}}$ como se puede verificar con facilidad, ya que $$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}+2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\rightarrow 4$$ y

$$\frac{\sqrt{n^2-1}+n}{n}\rightarrow 2$$

Así que si comparamos nuestra serie con la serie de $\sum n^{p-\frac{3}{2}}$ vemos que tenemos un número finito de relación. Por lo tanto los criterios de convergencia es

$$p-\frac{3}{2}<-1$$

o $$p<\frac{1}{2}$$