Llamarla "la más poderosa" es obviamente erróneo, ya que la definición puntual de continuidad implica la definición de "preimagen de lo abierto es abierto" para la continuidad global, a la vez que permite hablar de funciones que no son globalmente continuas.
Pero para funciones globalmente continuas, es una caracterización muy útil. Por ejemplo:
Teorema: La imagen continua de un conjunto compacto es compacta.
Prueba de ello: Sea $f : X \to Y$ y que $A \subset X$ ser compacto. si $\mathscr S$ es una cubierta abierta de $f(A)$ entonces $\{f^{-1}(S)\mid S \in \mathscr S\}$ es una cubierta abierta de $A$ y por lo tanto debe tener una subcubierta finita $\{f^{-1}(S_i)\}_{i=0}^n$ . Pero entonces $\{S_i\}_{i=0}^n$ debe ser una subcubierta de $f(A)$ . Por lo tanto, $f(A)$ es compacto.
Teorema: la imagen continua de un conjunto conexo es conexa.
Prueba: Sea $f : X \to Y$ y que $A \subset X$ . Supongamos que $f(A)$ está desconectado. Entonces hay conjuntos abiertos $U, V$ en $Y$ tal que $U \cap f(A) \ne \emptyset, V \cap f(A) \ne \emptyset, U \cap V = \emptyset$ y $ f(A) \subset U\cup V$ . Pero entonces $f^{-1}(U) \cap A \ne \emptyset, f^{-1}(V) \cap A \ne \emptyset, f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = \emptyset$ y $A \subset f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$ . Desde $f^{-1}(U)$ y $f^{-1}(V)$ están abiertos, forman una desconexión de $A$ . Por el contrapositivo, si $A$ está conectado, el so es $f(A)$ .
Hay dos resultados muy potentes que se demuestran fácilmente mediante la definición "topológica" de continuidad. Pero el argumento es estrictamente topológico. ¿Y qué pasa con el análisis? Recordemos el teorema de Heine-Borel: un subconjunto de $\Bbb R$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Y recordemos que un subconjunto de $\Bbb R$ es conectado si y sólo si es un intervalo.
Los dos resultados anteriores tienen entonces dos corolarios fáciles:
Teorema del valor extremo: Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces existe $c, d \in [a, b]$ tal que para todo $x \in [a,b], f(c) \le f(x) \le f(d)$ .
Prueba: $f([a, b])$ es compacto y conexo, y por tanto es un intervalo cerrado y acotado: $f([a,b]) = [m,M]$ . Por lo tanto, hay $c, d \in [a,b]$ con $f(c) = m$ y $f(d) = M$ y para cualquier $x\in[a,b], f(x) \in [m,M]$ y así $f(c) \le f(x) \le f(d)$ .
Teorema del valor intermedio: Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $f(a) < c < f(b)$ o $f(b) < c < f(a)$ , entonces hay un $x \in (a,b)$ tal que $f(x) = c$ .
Prueba: Al igual que con el Teorema del Valor Extremo, $f([a,b])$ es un intervalo. Por lo tanto, cada elemento de ese intervalo es la imagen de algún punto de $[a,b]$ .
Estos son dos de los resultados más potentes del análisis real. Y se deducen fácilmente del teorema de Heine-Borel cuando se utiliza la definición "topológica" de continuidad. Demostrarlos a partir de la definición épsilon-delta es bastante más complicado.
