Demuestra que $ \frac{\cos5x + \cos4x} {1-2\cos3x} = -\cos2x -\cos x $

Question

La pregunta dice $$ \frac{\cos5x + \cos4x} {1-2\cos3x} = -\cos2x -\cos x $$

Intenté usar el enfoque obvio convirtiendo $5x , 4x $ y $ 3x$ para $2x$ o $x$ pero lo único que parecía hacer era complicar aún más la fracción. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

También intenté aplicar varias identidades pero fue en vano.

Answer 1

Podemos utilizar la fórmula del producto a la suma. tenemos $$\begin{align}(1- 2\cos 3x)(-\cos 2x - \cos x) &= 2\cos 3x \cos 2x + 2 \cos 3x \cos x - \cos 2x - \cos x\\ &= (\cos 5x + \cos x) + (\cos 4x + \cos 2x) - \cos 2x - \cos x\\ &=\cos 5x+\cos 4x\end{align}$$ dividiéndolo entre $1- 2\cos 3x$ da el resultado.

Answer 2

Apliquemos la identidad $\cos (x+y)+\cos(x-y)=2\cos x \cos y$ al producto

$$(1-2\cos 3x)(-\cos 2x-\cos x)=-\cos 2x -\cos x+2\cos 3x \cos 2x+2\cos 3x \cos x$$

Tenga en cuenta que $2\cos 3x \cos 2x=\cos x+\cos 5x$ mientras que $2\cos 3x \cos x=\cos 2x+\cos 4x$

Así,

$$\begin{align} (1-2\cos 3x)(-\cos 2x-\cos x)&=-\cos 2x -\cos x+2\cos 3x \cos 2x+2\cos 3x \cos x\\\\ &=-\cos 2x -\cos x+(\cos x+\cos 5x)+(\cos 2x +\cos 4x)\\\\ &=\cos 5x + \cos 4x \end{align}$$

¡que iba a ser mostrado!

Answer 3

Primero multiplicaré por $-(1-2\cos(3x))$ para eliminar los negativos en el lado derecho y seguir teniendo una ecuación equivalente. Así que bastará con demostrar que $$\cos5x + \cos4x = (\cos2x +\cos x)(2\cos3x-1) $$ Expandiremos el lado derecho con exponenciales complejos. $$ \begin{align}(\cos2x +\cos x)(2\cos3x-1) = \frac{1}{2}\left(e^{2ix}+e^{-2ix}+e^{ix}+e^{-ix}\right)\left(e^{3ix}+e^{-3ix}-1\right) \\ = \frac{1}{2}\left( e^{5ix}+e^{-ix}-e^{2ix}+e^{ix}+e^{-5ix}-e^{-2ix}+e^{4ix}+e^{-2ix}-e^{ix}+e^{2ix}+e^{-4ix}-e^{-ix}\right) \\ = \frac{1}{2}\left(e^{5ix}+e^{-5ix}+e^{4ix}+e^{-4ix}\right) \\ = \frac{e^{5ix}+e^{-5ix}}{2}+\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2} \\ = \cos(5x)+\cos(4x) \end{align}$$

Answer 4

Idea principal: Cumplir con el $\cos x$ y utilizar la fuerza bruta.

LHS:

El numerador $=\cos5x+\cos4x$

$=\cos3x\cos2x-\sin3x\sin2x+2\cos^22x-1$

$=(\cos2x\cos x-\sin2x\sin x)(2\cos^2x-1)-(\sin2x\cos x+\sin x\cos2x)(2\sin x\cos x)+2(2\cos^2x-1)^2-1$

$=((2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2 x\cos x)(2\cos^2x-1)-(2\sin x\cos^2x+\sin x(2\cos^2x-1))(2\sin x\cos x)+2(4\cos^4x-4\cos^2x+1)-1$

$=(2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2x\cos x)(2\cos^2x-1)-(4\sin x\cos^2x-\sin x)(2\sin x\cos x)+8\cos^4x-8\cos^2x+1$

$=(2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x)(2\cos^2x-1)-(4(1-\cos^2x)\cos^2x-(1-\cos^2 x))2\cos x+8\cos^4x-8\cos^2x+1$

$=(4\cos^3x-3\cos x)(2\cos^2x-1)-(5\cos^2x-4\cos^4x-1)2\cos x+8\cos^4x-8\cos^2x+1$

$=8\cos^5x-6\cos^3x-4\cos^3x+3\cos x-10\cos^3x+8\cos^5x+2\cos x+8\cos^4x-8\cos^2{x}+1$

$=16\cos^5x+8\cos^4x-20\cos^3x-8\cos^2x+5\cos x+1$

$=(1+6\cos x - 8\cos^3 x)(1-\cos x - 2\cos^2 x)$

El denominador $=1-2\cos3x$

$=1-2(\cos2x\cos x - \sin2x\sin x)$

$=1-2((2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x)$

$=1-2(2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x)$

$=1-2(4\cos^3x-3\cos x)$

$=1+6\cos x-8\cos^3x$

La fracción $=1-\cos x - 2\cos^2 x$

$= - (2\cos^2x-1)-\cos x$

$=-\cos2x-\cos x$

$=$ RHS