"Sol naciente" de la función

Question

Deje $f:[0,1] \to \mathbb R$ ser delimitada y $$ f_\odot :[0,1] \to \mathbb R: x \mapsto \sup \{f(y) : y \in [x,1] \} $$ This is well defined since $f$ es bouned.

Reclamo: Si $f$ es continuo, a continuación,$f_\odot$, demasiado.

He empezado como sigue: vaya a $x_0 \in [0,1]$$\epsilon > 0$. Primero: Encontrar $y_0 \in [x_0,1]$ s.t. $f_\odot(x_0) - \epsilon < f(y_0) \leq f_\odot(x_0)$. A continuación, mediante la continuidad de la $f$ I obtener un $\delta > 0$ s.t. $\forall a \in (y_0-\delta,y_0+\delta) : f(y_0) - \epsilon < f(a) < f(y_0) + \epsilon$ , por lo que también se $|f(a)-f_\odot(x_0)|<2\epsilon$$a \in (y_0-\delta,y_0+\delta)$. Ahora puedo chupar. Creo que esta $\delta$ también funciona para $f_\odot$ de alguna manera, pero no se puede averiguar.

Answer 1

Tenga en cuenta que por la continuidad de $f$ tenemos $\sup=\max$ compactos a intervalos. Por lo tanto podemos asumir que en el hecho de $f_\odot(x_0)=f(y_0)$.

Si $f(x_0)<f_\odot(x_0)$, $y_0>x_0$ y tenemos $f(x)<f_\odot(x_0)$ en algunos $\delta$-barrio de $x_0$. Sin pérdida de generalidad, $\delta<y_0-x_0$ y, por tanto,$f_\odot(x)=f(y_0)$$x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$.

Por otro lado, si $f(x_0)=f_\odot(x_0)$, $f(x)\le f_\odot(x)\le f(x_0)$ $x\ge x_0$ y si tomamos $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$|x_0-x|<\delta$, $f(x_0)-\epsilon<f(x)\le f_\odot(x)\le f_\odot(x_0)$ $x_0\le x<x_0+\delta$ también $f(x_0)\le f_\odot(x)<f(x_0)+\epsilon = f_\odot(x_0)+\epsilon$$x_0-\delta<x\le x_0$.

Answer 2

Otro método para probar que esto es la siguiente:

1) Demostrar que para cualquier función de $f$ (continua o no), que para $x_1, x_2 \in [0,1]$ tal que $x_1 < x_2$, la siguiente igualdad tiene $$ 0 \leq f_{\odot}(x_1)-f_{\odot}(x_2) = \sup\{f(y) : y \in [x_1,1]\}-\sup\{f(y) : y \in [x_2,1]\} \\\leq \sup\{f(y) : y\in [x_1,x_2]\}-\inf\{f(y):y \in [x_1,x_2]\} $$

2) Suponiendo que el $f$ es continua, entonces es uniformemente continua en a $[0,1]$. Así que tome $\epsilon >0$ y encontrar una $\delta$ tal que para cualquier $x_1, x_2 \in [0,1]$$|x_1 - x_2|<\delta$$|f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon$.

3) Aplicar la parte 2 de la parte 1 y la utilización que al $f$ es continuo, hay algunos $a \in [x_1,x_2]$ $b\in [x_1,x_2]$ tal que $f(a) = \sup\{f(y) : y\in [x_1,x_2]\}$$f(b) =\inf\{f(y):y \in [x_1,x_2]\}$. Por lo tanto, usted tendrá si $|x_1 - x_2|<\delta$ $$ |f_{\odot}(x_1) - f_{\odot}(x_2)| \leq |f(a) - f(b)| < \epsilon $$ desde $|a-b|< |x_1-x_2|<\delta$.