Si una desigualdad es verdadera para todos los números naturales, es necesariamente verdadera para todos los números reales entre medio?

Question

Un montón de tiempo en las clases, mis profesores probar (por inducción), desigualdad (por ejemplo,$(1+x)^n \geq 1+nx$) en los números naturales (o de cualquiera de los subconjuntos de los mismos), y me he dado cuenta (no con rigor; sólo por medio de gráficas de las funciones) que tales declaraciones son ciertas para todos los números reales en el medio.

Otro ejemplo es que el crecimiento exponencial de beats polinomio de crecimiento.

Mi pregunta es:

Si una desigualdad es verdadera para todos los $n \in \mathbb{N},$ no se sigue necesariamente que la misma desigualdad se cumple para todos los $n \in \mathbb{R^+}$?

Yo no estoy en el mercado para una rigurosa prueba; (si la respuesta es no) sólo un contra-ejemplo, o (si la respuesta es sí) una razón intuitiva de por qué este es el caso.

Answer 1

$x - \lfloor x \rfloor\le 0$, (donde $\lfloor x \rfloor$ es el entero más grande menor o igual a $x$) es verdadero para todos los $x \in \mathbb N$ pero falsa para todos los demás números reales positivos.

Answer 2

Aquí es una versión más precisa de su pregunta:

Pregunta. Si una instrucción de la forma $\tau \geq \sigma$ (donde $\tau$ $\sigma$ son expresiones construidas utilizando sólo las operaciones de $\{0,1,+,\times\}$) tiene por $\mathbb{N},$ lo hace necesariamente por $\mathbb{R}_{\geq 0}$?

Por desgracia, la respuesta es no, (gracias @Mathmo123).

Considere la posibilidad de $x^2 \geq x$. Esto es válido para todas las $n \in \mathbb{N}$ (en realidad, para todos los enteros), pero no para el $r \in \mathbb{R}$ estrictamente entre el$0$$1$. Por supuesto, un contraejemplo es rigurosa prueba de la falsedad.

Answer 3

Coseno de $2n\pi$ es mayor que cero para cada entero $n$, pero no para cada una de las $n$...

Answer 4

Sin más requisitos en la desigualdad, la respuesta es un gran no, ya que todos demandado decir. Esto es debido a que no hay restricción en absoluto entre vecinos de los valores del argumento.

La respuesta sería diferente y mucho más interesante si impuestas suavidad condiciones, como continuidad a un poco de orden, la diferenciabilidad para algún orden, la continuidad Lipschitz, banda-limitación...

Su pregunta es, probablemente, la ocultación de un más profundo: dada una función discreta, hay una forma "natural" para definir una extensión de los valores reales ? Y qué propiedades posee ?

Un buen ejemplo de tal extensión, está dada por la función Gamma, $\Gamma(x+1)$, que generaliza el factorial de $n!$.

Si la desigualdad es $n!\ge1$, es violado entre el$0!$$1!$, pero esto es bastante comprensible, ya que los dos primeros valores de la forma de una meseta.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Factorial_Interpolation.svg

Answer 5

$\sin(n\pi) \geq 0$ para todos los enteros $n$...