Demostrando que $5^n-1$ es divisible por $4$ $n\geq 0$ por inducción

Question

Espero que esto no cuenta como un duplicado, como me gustaría saber si mi prueba es válida:

$P(n): 5^n - 1$ es divisible por $4$$n \ge 0$.

Base Paso: $P(0): 5^0-1 = 1-1 = 0 = 0\times 4$.

Inducción Suposición: $P(k): 5^k-1$ es divisible por $4$.

Probar: $P(k+1): 5^{k+1}-1$ es divisible por $4,$ o, equivalentemente,$5^{k+1}-1 = 4r$, para algún entero $r$.

$5^{k+1}-1$

$= 5^k\times5-1$ por Exponente Leyes

$= 5\times4r$ por I. H.

$=4(5r)$ que iba a ser mostrado.

Answer 1

...o sin directa de inducción, utilizando

$$A^n-B^n=(A-B)\left((A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots+AB^{n-2}+B^{n-1}\right)$$

...que está demostrado, por supuesto, con la inducción... :) y , a continuación,

$$5^n-1=5^n-1^n=\overbrace{(5-1)}^{=4}(5^{n-1}+5^{n-2}+\ldots+5+1)$$

que es entonces trivialmente visto para ser divisible por $\;4\;$ .

La manera en que lo hizo estaba bastante cerca, pero su línea antes de que la última está mal:

$$5^{k+1}-1=5\cdot5^k-1=4\cdot5^k+(5^k-1)$$

y el primer sumando es trivialmente divisible por cuatro, mientras que la segunda es por la hipótesis inductiva.

Answer 2

Sería mejor si usted mostró la transición entre el "exponente de la ley de paso" y "I. H." paso claramente de la siguiente manera:

$$5^{k+1}-1=5\times 5^k-1=5\times (4p+1)-1=4(5p+1)\equiv 0\pmod4$$

donde $p$ es un número entero tomado en el I. H. para representar la divisibilidad por $4$.

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Sólo demostrando una solución alternativa, esto puede ser probado en una línea usando aritmética modular.

$$\forall~n\in\Bbb{Z_0^+}~,~5^{n}-1=(4+1)^n-1\equiv 1^n-1\equiv 1-1\equiv 0\pmod4$$

Answer 3

La prueba está mal porque

$$5^k\cdot5-1\ne5\cdot4\cdot r$$ (tome $k=1$ o más como un contraejemplo.)

Parece que has confundido $$5^k\cdot5-1$$ with $$5\cdot(5^k-1),$$ que es muy diferente.

La deducción es correcta $$5^k\cdot5-1=(5^k-1+1)\cdot5-1=(4r+1)\cdot5-1=4\cdot5\cdot r+4=4.(5\cdot r+1)=4\cdot r'.$$

Answer 4

Para $n=1$ tenemos $5^{n} - 1 = 5 - 1 = 4.$

Supongamos que hay un $n \geq 1$ tal que $5^{n} - 1 = 4k$ algunos $k$. Entonces $$5^{n+1} - 1 = 5(5^{n} - 1) + 4 = 20k + 4,$$ así $$4 \mid (5^{n+1} - 1).$$

Answer 5

El caso Base es ACEPTAR. Supongamos ahora que para cualquier $n=k$, $5^k-1=4p$ --(i) para un entero p.
Queremos demostrar que $5^k.5-1=4q$ para un entero q.
$5^k.5-5+5-1=4q$
$5(5^k-1)+4=4q$
$5.4p+4=4q$ ((i))
$4(5p+1)=4q$
$q$ es un número entero. Por lo $5p+1=q$ también será un número entero. De ahí resultó.