Cómo integrar la $\frac{2+5x^3}{2x^3+2}\sqrt{x^3+1}$

Question

¿Cómo podría uno encontrar la integral de $\frac{2+5x^3}{2x^3+2}\sqrt{x^3+1}$ con respecto al $x$?

Ya sé que la antiderivada (de Wolfram Alpha), pero no sé cómo integrar esta función con el lápiz y el papel. Hay tal vez una inteligente sustitución de variables?

Answer 1

SUGERENCIA:

Yo diría que

$\frac{2+5x^3}{2x^3+2}\sqrt{x^3+1}=\frac{2+5x^3}{2(x^3+1)}\frac{x^3+1}{\sqrt{x^3+1}}=\frac{2+5x^3}{2\sqrt{x^3+1}}=\frac{2(x^3+1)+3x^3}{2\sqrt{x^3+1}}=\frac{x^3+1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{3x^3}{2\sqrt{x^3+1}}=$

$=\sqrt{x^3+1}+\frac{3x^3}{2\sqrt{x^3+1}}=1\cdot\sqrt{x^3+1}+x\cdot\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}=\frac{d}{dx}(x\cdot \sqrt{x^3+1})$