Sugiero utilizar la siguiente caracterización de la ergodicidad:
$\varphi$ es ergódico si y sólo si cada $f\in L^2(\mathbb{T}^2)$ tal que $f\circ \varphi = f$ es una función constante.
Ahora utilicemos este criterio para demostrar $\varphi$ es ergódica. Supongamos que $f\in L^2$ con $f\circ \varphi = f$ . Descomponer $f$ en su serie de Fourier $$f = \sum_{m,n\in \mathbb{Z}} = \alpha_{(m\,n)}e^{2\pi imx}e^{2\pi iny},$$ con coeficientes $\alpha_{(m\,n)}\in \mathbb{C}$ . Entonces, si $\varphi$ viene dada por la matriz $$A = \left(\begin{matrix} a & b\\c & d\end{matrix}\right),$$ es fácil calcular que $$f\circ \varphi = \sum_{m,n}\alpha_{(m\,n)}e^{2\pi i(ma+nc)x}e^{2\pi i(mb+nd)y}.$$ Desde $f$ es invariante, la serie de Fourier para $f$ y $f\circ \varphi$ debe estar de acuerdo, así que $\alpha_{(m\,n)} = \alpha_{(ma+nc\,mb+nd)}$ para todos $m,n\in \mathbb{Z}$ . Podemos expresarlo de forma más sencilla como sigue. Si $v = (m\,\,n)\in \mathbb{Z}^2$ entonces $\alpha_v = \alpha_{vA}$ . Al iterar, $\alpha_v = \alpha_{vA^k}$ para cada $k\in \mathbb{Z}$ .
Supongamos que $v\in \mathbb{Z}^2$ . O bien la secuencia $vA^k$ de vectores con coordenadas enteras es periódica, o bien $\|vA^k\|\to \infty$ como $k\to \infty$ . Obsérvese que el primer caso no puede darse a menos que $v = 0$ ya que si $v = vA^k$ para algunos $k$ entonces $A^k$ habría $1$ como valor propio, lo que contradice el supuesto de hiperbolicidad. Por lo tanto, o bien $v = 0$ o $\|vA^k\|\to \infty$ . Supongamos que $v\neq 0$ . Desde $f\in L^2$ los coeficientes $\alpha_{(m\,n)}\to 0$ como $\|(m\,\,n)\|\to \infty$ y por lo tanto $\alpha_v = \alpha_{vA^k}\to 0$ es decir, $\alpha_v = 0$ . Por lo tanto, hemos demostrado que la única manera $\alpha_v$ puede ser distinto de cero es si $v = 0$ . La serie de Fourier para $f$ es entonces $f = \alpha_0$ Así que $f$ es una función constante.
