Demostrando por $w \in \Bbb C$ con el módulo de $1$ y el argumento de $2 \theta$ que $\frac{w-1}{w+1}=i\tan \theta$

Question

El número complejo w tiene el módulo de $1$ y el argumento 2$\theta$ radianes. Mostrar que $$\frac{w-1}{w+1}=i\tan \theta.$$

Intento de solución:

Yo supuse que $w=1(\cos 2\theta +i \sin 2\theta)$ y utiliza una expresión $$Arg(w)=2\theta.$$ Entonces $$w=\tan(2\theta).$$ Entonces, ¿qué?

Answer 1

Sugerencia de Como usted ha observado, las condiciones en las $w$ dar ese $$w = e^{2 i \theta}.$$ en Lugar de ampliarla mediante fórmula de Euler, se puede sustituir directamente en el l.h.s. de la identidad: $$\frac{w - 1}{w + 1} = \frac{e^{2i \theta} - 1}{e^{2i \theta} + 1}.$$ Ahora, podemos reescribir esto como $$\frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{e^{i \theta} + e^{i \theta}}.$$