Romper la condición de acotación en el teorema de la representación de Riesz

Question

El teorema de la representación de Riesz es muy útil para discutir la característica del funcional en el espacio de Hilbert $H$ . Dice que el operador lineal acotado $f : H \rightarrow \mathbb{F}$ puede representarse como un producto interno como $f(x) = \langle x , z\rangle$ , donde $z$ depende de $f$ puede determinarse de forma única de manera que $\|f\| = \|z\|$ . La acotación sólo es necesaria para demostrar $\|f\| = \|z\|$ .

Debe haber al menos un funcional lineal no acotado que no pueda ser representado por el teorema de representación de Riesz. Estoy buscando un contraejemplo de dicho funcional.

¿Podemos generalizar este teorema para un funcional lineal no limitado?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

¿Qué quieres decir con que "la delimitación sólo es necesaria para demostrar $||f|| = ||z||$ ?"

Afirmo que, por el contrario, todo funcional lineal de la forma $f(x) = \langle x, z \rangle$ está acotada (equivalentemente, es continua), por lo que no se puede representar ningún funcional lineal no acotado. Los funcionales lineales no acotados son fáciles de construir si se sabe que toda función sobre un conjunto linealmente independiente se extiende a un funcional lineal.

Añadido : Con más detalle: si $S \subset H$ es un subconjunto linealmente independiente, entonces (utilizando el Lemma de Zorn) existe una base ("Hamel") $B$ que contiene $S$ . Entonces, si $\ell: S \rightarrow \mathbb{C}$ es una función cualquiera, podemos extenderla a una función $\ell: B \rightarrow \mathbb{C}$ de muchas maneras, por ejemplo $\ell(x) = 0$ para todos $x \in B \setminus S$ -- y luego $\ell$ se extiende de forma única a un funcional lineal sobre $H$ por la linealidad. Si $S$ es infinito y está formado por elementos de norma uniformemente acotada (lo que siempre podemos conseguir simplemente renormalizando) y $\ell$ no tiene límites en $S$ entonces toda extensión de $\ell$ a $H$ es un funcional lineal no limitado.

Answer 2

Hay varias formas de construir dicho funcional. Sea $H$ sea un espacio de Hilbert separable, y $\{ e_n \}$ sea una base ortonormal para $H$ . Para obtener la información adecuada $f = \sum a_n e_n \in H$ definimos la función $L(f) = \sum n a_n$ .

Está claro que esto sólo funcionará para aquellos $f$ en $H$ donde la suma converge, pero este es un problema común que surge con operadores no limitados.

$L$ no está acotado, ya que $$\|L\| = \sup_{\|f\| = 1} \|L(f)\| \ge \sup_{n} \|L(e_n)\| = \sup_{n} n = \infty$$

Si esto se representara por producto interno contra algún vector en $H$ como dice el teorema de Riesz en el caso acotado, entonces $L(f) = \langle f, g \rangle$ para algunos $g$ . Podemos obtener la expansión de Fourier para $g$ evaluando $L(e_n) = n = \langle e_n,g\rangle$ . Por lo tanto, tenemos $g = \sum_{n} n e_n$ . Esto significaría $$\|g\| = \sqrt{ \langle g,g \rangle } = \sqrt{ \sum n^2 } = \infty$$ y esto es una contradicción.

Hay generalizaciones para el teorema de Riesz, pero en una dirección diferente a la que mencionas. El teorema se ha aplicado a espacios de Banach más generales que los espacios de Hilbert. Por ejemplo, toda función lineal, L, sobre el espacio vectorial $C(X)$ equipado con la norma supremum puede representarse como una integración contra alguna medida $\mu_L$ .