Computación Integral de $\frac{\sin^n x}{x^n}$

Question

¿Cómo se puede calcular $$\int_0^{\infty}\frac{\sin^n x}{x^n}dx$$ for every $n$? Gracias.

Para $n=1$ es ampliamente conocido y por $n=2$ usted podría utilizar Plancherel de la fórmula. Pero no sé cómo hacerlo para $n\geq3.$

Answer 1

Supongo, podemos intentar algunas residual de la fórmula.

Vamos $f(z)=\left(\frac{sin(z)}{z}\right)^{n}$, $n\in \mathbb{N}$, y tenga en cuenta que $f(z)$ n-poste en $z=0$.

Para $f(z)=\left(\frac{sin(z)}{z}\right)^{n}=Img\left(\frac{e^{inz}}{z^{n}}\right)$ y $|z|\leq Re^{i\theta}$, $\theta \in [0,\pi]$, tenemos $$|f(z)| \leq \frac{1}{R^{n}} \to 0,$$ si $R \to \infty$.

Así, por $n \in \mathbb{N}$, podemos establecer la curva cerrada $\gamma=\gamma_{R} \wedge \gamma_{2} \wedge \gamma_{\delta} \wedge \gamma_{3},$ donde $$\gamma_{R}:|z|=Re^{i\theta}, \quad \theta \in[0,\theta] \quad \textrm{and} \quad R>0;$$ $$\gamma_{2}:z=(t-1)R-t\delta, \quad t\in[0,1] \quad \textrm{and} \quad \delta>0;$$ $$\gamma_{\delta}:|z|=\delta e^{i\theta}, \quad \theta \in [\theta,0];$$ $$\gamma_{3}:z=tR+(1-t)\delta, \quad t\in[0,1];$$

Por último, sólo tenga en cuenta que sen(x) y x son impares, entonces $\frac{sin(x)}{x}$ es incluso, se le añade $\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{n}$ es par, entonces $$\int_{0}^{\infty}{\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{n}\textrm{d}x}=\frac{1}{2}\textrm{Img}\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{e^{ix}}{x}\right)^{n}\textrm{d}x}$$.

En primer lugar, tenga en cuenta que f(z) es analítica en $int(\gamma)$, por Cauchy-Goursat teorema, tenemos $$\int_{\gamma}{f(z)\textrm{d}z}=0.$$ Por otro lado, $$\int_{\gamma}{f(z)\textrm{d}z}=\int_{\gamma_{R}}{f(z)\textrm{d}z}+\int_{\gamma_{2}}{f(z)\textrm{d}z}+\int_{\gamma_{\delta}}{f(z)\textrm{d}z}+\int_{\gamma_{3}}{f(z)\textrm{d}z}$$

Ahora, vamos a $R \to \infty$ $\delta \to 0$ y hemos de fracciones de residuos fórmula $$\int_{\gamma_{R}}{f(z)\textrm{d}z} \to 0;$$ $$\int_{\gamma_{R}}{f(z)\textrm{d}z} \to -i\pi(Residue\{f(z)\}|_{z=0});$$ $$\int_{\gamma_{2}}{f(z)\textrm{d}z}+\int_{\gamma_{3}}{f(z)\textrm{d}z} \to \int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{e^{it}}{t}\right)^{n}\textrm{d}t}$$;

Finalmente, $$0=-i\pi(Residue\{f(z)\}|_{z=0})+\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{e^{it}}{t}\right)^{n}\textrm{d}t}.$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{e^{it}}{t}\right)^{n}\textrm{d}t}=-\pi(Residue\{f(z)\}|_{z=0}).$$

Si, calcular $(Residue\{f(z)\}|_{z=0})$, luego $$\int_{0}^{\infty}{\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{n}\textrm{d}x}=\frac{1}{2}\textrm{Img}\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{e^{ix}}{x}\right)^{n}\textrm{d}x}=\frac{1}{2}\textrm{Im}(i\pi Residue\{f(z)\}|_{z=0})$$

Por ejemplo, si $n=1$, $Residue\{f(z)\}|_{z=0})=1$ y llegamos $$\int_{0}^{\infty}{\left(\frac{sin(x)}{x}\right)^{n}\textrm{d}x}=\frac{\pi}{2}$$