¿Cuáles son todos los dominios integrales que no son anillos de división?

Question

Un anillo de división conmutativo es un dominio integral. Pero, ¿cuáles son todos los dominios integrales que no son anillos de división?

Los ejemplos que conozco actualmente son los siguientes: $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}[i]$ , $\mathbb{Z}[\sqrt 2]$ , $\mathbb{Z}[\sqrt k]$ donde $k$ no es un cuadrado perfecto, y el anillo de polinomios $R[x]$ sobre cualquier dominio integral $R$ . Pero, ¿cuáles son los demás ejemplos?

Edita: Soy autodidacta, así que disculpen si la pregunta es trivial o estúpida.

Answer 1

Como se alude en los comentarios, dado que los dominios integrales pueden realizarse como subrings de campos, uno podría caracterizar los dominios integrales como "la clase de subrings de campos".

Los dominios integrales que no son campos son simplemente subrings que no son campos. Esta es la clasificación más sencilla que se puede esperar.

Si aún estás buscando más formas de producir dominios integrales, deberías conocer ésta: $R/P$ es un dominio integral para cualquier anillo conmutativo $R$ y el ideal primo $P$ de $R$ . En realidad, esto cubre los cuatro primeros ejemplos que diste utilizando los números enteros, ya que son varios cocientes de $\Bbb Z[x]$ por ideales primos.

Ya que has mencionado los anillos de división, diré algo también sobre los dominios no conmutativos. La cuestión es mucho más difícil en este caso, ya que existen dominios que no pueden incrustarse en anillos de división. Para un ideal completamente primo $P$ de $R$ lo que significa que $P$ satisface la definición conmutativa de "ideal primo". $R/P$ sigue siendo un dominio. Sin embargo, los ideales completamente primos son más difíciles de encontrar en el álgebra no conmutativa que en la conmutativa. También sigue siendo cierto que los anillos de polinomios sobre anillos no conmutativos siguen siendo dominios.

Answer 2

• Para cualquier dominio integral $D$ el anillo polinómico $D[x_1, \ldots, x_k]$ , $k > 0$ .
• Para cualquier subconjunto conexo y abierto $U \subseteq \mathbb{C}$ el anillo de funciones holomorfas sobre $U$ . (Obsérvese que el espacio de funciones meramente suaves sobre $U$ est no un dominio integral).

(Dado que todos los dominios finitos son campos, todos los ejemplos de tales anillos son infinitos).