No estoy seguro de cómo se calcula esta norma.

Question

Tengo la siguiente matriz: $$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$ ¿Cuál es la norma de $A$ ? Necesito mostrar los pasos, no debería usar Matlab...
Sé que la respuesta es $\sqrt{\sqrt{5}/2+3/2}$ . Estoy usando la versión simple para calcular la norma pero obtengo una respuesta diferente: $\sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3(a_{ij})^2=\sqrt{1+1+1+1}=2$ Tal vez se trate de un tipo de norma diferente, no estoy seguro.

Esto podría ayudar - necesito conseguir un número de condición de $A$ que es $k(A)=\|A\|\|A^{-1}\|$ ...por eso necesito calcular la norma de $A$ .

Answer 1

Estás viendo la norma 2 inducida de una matriz. La norma 2 inducida de una matriz viene dada por \begin{align} ||A||_2=\max_{x\neq 0}~\frac{||Ax||_2}{||x||_2} \end{align}
Hay un poco de teoría detrás que te ayudará a deducir que la norma 2 inducida es de hecho el valor singular más alto de esa matriz. Para encontrar el valor singular más alto, encontrar $AA^T$ y encontrar el mayor valor propio de esa matriz y tomar su raíz cuadrada. El número de condición no es más que el producto de la 2-norma inducida de $A$ y su inversa. Puedes encontrar todo esto en cualquier libro de texto estándar sobre análisis matricial.

Answer 2

Así es como se encuentra la norma de una matriz. Aplica la definición de la norma de una matriz

\begin{align} ||A||_2 = \max_{||u||= 1}~||Au||_2. \end{align}

a la matriz que te han dado. En primer lugar, vamos a encontrar $ ||Au||_2 $ . Coge un vector arbitrario $u=(x,y,z)^{T}$ tal que $||u||_2 = 1$ y aplicarle la matriz dada

$$ Au= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \\ y+z \\ z \\ \end{bmatrix} $$

$$ \implies ||Au||_2 = \sqrt{x^2+(y+z)^2+z^2} = \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2) + 2yz + z^2}$$

$$ \sqrt{1 + 2yz + z^2}.$$

Ahora, tenemos

$$ ||Au||_2 = \sqrt{1 + 2yz + z^2} \implies ||A||= \max_{||u||_2=1 }~\sqrt{1 + 2yz + z^2}= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2} . $$