cómo llevar el PDE $u_{tt}-u_{xx} = x^2 -t^2$ a la forma canónica

Question

Cómo llevar a la forma canónica y resolver el siguiente PDE?

$$u_{tt}-u_{xx} = x^2 -t^2$$

Reconozco que es un hiperbólico de la PDE, como la $b^2-4ac=(-4(1)(-1))=4 > 0$.

No sé cómo proceder para obtener la forma canónica.

Sé cómo lidiar con algo como $u_{tt}-u_{xx} = 0$. Con $\ RHS =0 \ $ me gustaría utilizar la ecuación característica $R (\frac{\partial^2 dy}{\partial dx})-2S (\frac{\partial^2 dy}{\partial dx})+T=0$ , definir el $\xi$ $\eta$ en términos de$x$$y$, calcular la primera y segunda derivadas parciales y sustituir en la ecuación inicial.

Aquí la función en el lado derecho $x^2 -t^2$ complica el asunto.

Cómo la RHS=X^2-c^2 cambios en el estándar de la ecuación de onda de $u_{tt}−u_{xx}=0$ en términos de la interpretación?

Answer 1

Proceder como para $u_{tt}-u_{xx}=0$. Usted encontrará $\xi=x+t$, $\eta=x-t$. Entonces $$ x^2-c^2=(x+t)(x-t)=\xi\,\eta. $$

Answer 2

$$u_{tt}-u_{xx}=x^2-t^2$$ Una obvia solución particular es $u=\frac{1}{12}(-x^4-t^4)$

El cambio de función : $u(x,t)=v(x,t)+\frac{1}{12}(-x^4-t^4)$ conduce a : $$v_{tt}-v_{xx}=0$$ $$v(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$$ $F$ $G$ son cualquier derivable funciones. $$u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)-\frac{1}{12}(x^4+t^4)$$

Answer 3

Resumiendo, la solución debe ser

la forma canónica $\mathbf{-4u_{\xi \eta}=\xi \eta}$

la solución general $\mathbf{u(x,y)=-\frac{1}{16}(x^4-2x^2t^2+t^4)}$

$\mathbf{x^2-t^2}$ representan una fuerza externa