¿Tiempo requerido para alcanzar la meta cuando un objeto se ralentizará de forma incremental en función de la distancia recorrida?

Question

Estaba pensando en esto cuando se vuela en el avión que se acercaba y desaceleración.

Suponga que un objeto se aproxima a su destino, que está a una cierta distancia inicial d en el momento t0.

Se inicia a una velocidad que le permita llegar a la meta en una hora exacta (por ejemplo, d=100 km, se inicia en 100 km/h).

De forma incremental, será más lento, de modo que en cada punto en el tiempo, va a ser exactamente una hora lejos de alcanzar el objetivo (después de que se habían viajado a 40 km 60 km de distancia, que viaja a 60 km/h).

Después de alcanzar un mínimo predefinido de velocidad (10 km/h), va a mantener su velocidad constante (y tiene exactamente una hora adicional para alcanzar el objetivo).

¿Cuánto tiempo va a tomar para llegar a la meta?

Yo de alguna manera asumir que la respuesta debe ser de 2 horas, independientemente de la distancia inicial, pero no se ajusta (porque no importa lo que la distancia original (que no debería, ya que estamos viajando más rápido en el comienzo), pero cualquier ruta de acceso más corta está incluido en la ruta más larga y la ecuación resultante no puede ser verdadero (o que puede ser?))

Creo que me estoy perdiendo el aparato matemático que se necesita para resolver este (es que las ecuaciones diferenciales?)

Por favor puede asesorar sobre cómo resolver esto?

Answer 1

Hasta la velocidad final, si$x$ es la distancia al objetivo, tenemos$\frac {dx}{dt}=-x$. Esto se resuelve mediante$x=x_0e^{-t}$ donde$x_0$ es la distancia en el tiempo$0$. Luego observamos cuánto tiempo lleva llegar a$10$, por lo que resolvemos$10=100e^{-t}, -t=\ln \frac 1{10}, t=\ln 10$. Luego, como usted dice, se tarda una hora en llegar allí, por lo que el tiempo total es$1+\ln 10 \approx 3.303$ horas

Answer 2

Dividir el problema en dos partes: el tiempo que se tarda en llegar de los 100 a los 10 km, y de 10 a 0 km. La segunda parte es trivial, así que me centraré en el primero.

Para la primera parte, vamos a $x(t) = d(t) - 10$, de modo que cuando usted está en la marca de 10 km, $x = 0$. Entonces, desde $v(t)=-d(t)$, $v(t)=-x(t)-10$. Como una ecuación diferencial: $\frac{dx}{dt}=-x-10$.

No recuerdo mucho de mi ODA curso distinto esta es una ecuación diferencial de primer orden, pero google me llevan a esto. Después de reetiquetar las variables, se obtiene $P=1$, $Q=-10$, y un factor de integración de $M(t)=e^t$.

Esto produce $x(t)=\frac{Q M(t) + C}{M(t)}$. Resolver para $C$ empleando la condición inicial $x(0)=d(0)-10=90$, lo que le da $C=100$$x(t)=100e^{-t}-10$.

Para resolver durante el tiempo que se tarda en viajar la primera de 90 km, resolver por $t$ al $x(t)=0$, lo que le da $\ln 10$.