Un teorema de Ito dice que si$G=AB$ donde$A,B$ son subgrupos abelianos de$G$ entonces$G'$ es abeliano.
Era un ejercicio en un libro, para probar, sin usar el hecho anterior , que
Si$G$ es un grupo finito y$G=AB$ donde$A,B$ son subgrupos abelianos, entonces$G$ es solucionable.
¿Puedes dar una pista para esto?
De hecho, Ito dio una prueba directa por un sorprendentemente corto de cálculo, que muestra directamente que $G$ $2$- paso solucionable. Así que no necesitamos usar el hecho de que $G'$ es abelian, sino que sólo se puede dar Ito de la computación.
La proposición (N. Ito 1955): Vamos a $G=AB$ el producto de dos subgrupos abelian $A$ $B$ , $G$ es metabelian, es decir, la solución de la clase $\le 2$.
Prueba: véase B. A., S. Franciosi, F. de Giovanni, "los Productos de los grupos", Oxford
La Prensa De La Universidad (1992). También hay Ito del artículo original, pero está en alemán. No obstante, uno puede ver el corto de la computación.
Tenga en cuenta que la prueba de que realmente no necesita $G$ a un ser finito.
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