¿Cómo probar que una permutación uniforme de$A_n$ es un cuadrado de otra permutación de$S_n$?

Question

Estoy tratando de ir a través de una prueba que contiene una declaración de que una permutación de $A_n$ es un cuadrado de otra permutación de $S_n$. Mis ideas básicas son como este:

Supongamos incluso una permutación es $y$. Como la firma de una permutación es $+1$, que son capaces de escribir como un producto de la $t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}...t_{2r-1}t_{2r}$ con cada una de las $t$ permanente para los dos ciclos. A continuación, considere la posibilidad de $t_{1}t_{2}$, puede ser escrito como $(ij)(kl)$ si $t_{1}$ e $t_{2}$ son distintos, o como $(ij)(jk)$ si no son distintas. Sin embargo, $(ij)(kl) = (ikjl)^2$ e $(ij)(jk) = (ikj)^2$, lo que significa que cada una de las $t_1t_2$, $t_3t_4$,...,$t_{2r-1}t_{2r}$ es un cuadrado de otra permutación de $S_n$, decir $x_i$.

Sin embargo, ¿cómo se supone que $y$ es un cuadrado de otra permutación? Si $y = x_1^2...x_r^2$, no necesariamente significa que $y$ es un cuadrado de algo? Es $x_i$ conmutativa en este caso? Necesito algunos consejos, gracias.

Answer 1

Insinuación. Una permutación es el cuadrado de otra permutación si y solo si, su descomposición de ciclo tiene un número par de ciclos de longitud $m$ para cada número par $m$ .

Answer 2

Algunos consejos más:

Comience por estudiar las estructuras cíclicas de los cuadrados $\sigma:=\pi\circ\pi$ de permutaciones arbitrarias. Para esto es suficiente para averiguar qué sucede con un ciclo de longitud impar en cuadratura, y qué sucede con un ciclo de longitud uniforme en cuadratura.

Answer 3

Eso es ni remotamente cierto: la densidad de plazas en $S_n$ va a cero, como se $n\to +\infty$ (como $\frac{C}{\sqrt{n}}$, en realidad), mientras que su demanda implican que la $\liminf$ de dicha densidad es por lo menos $\frac{1}{2}$. De hecho, si consideramos $$\sigma = (1\,2)(3\,4\,5\,6) \in A_6 $$ este no es el cuadrado de cualquier cosa en $S_6$. Una plaza en $S_6$ tiene la propiedad de que los ciclos con una longitud fija incluso aparecen con una multiplicidad.