Abrir el subespacio lineal de un espacio de Hilbert.

Question

¿Existe alguna abrir lineal (vector) el subespacio de un espacio de Hilbert? No se me ocurre ningún ejemplo.

En realidad, yo estaba leyendo el libro de Simmons, hay casi en cada teorema se supone que "Si M es cerrado lineal subespacio".Me pareció natural a pensar acerca de subespacios, que no están cerrados. Tengo un tengo un ejemplo que no está cerrado: Tomar el espacio de Hilbert H = C[0,1], con L^2 de la norma y el subespacio conjunto de todos los polinomios, no es cerrado, ya que el cierre es de H y no se abre aquí se puede encontrar Conjunto de todos los polinomios en [0, 1/2] no es abierto en C[0, 1/2]. Entonces me pregunté a mí mismo un ejemplo de pensar en un conjunto abierto. Pero yo podría llevar yo mismo a ninguna parte, como no estoy familiarizado con infinitas dimensiones espacio vectorial. No cerrado no significa necesariamente abierta.

Answer 1

Si $M \leq \mathcal{H}$ un subespacio de un espacio de Hilbert (o en general de cualquier normativa espacio) está abierto, a continuación, contiene una bola alrededor del origen $0 \in B_r(0) \subset M$, pero para todos (no-cero) vector de $v \in \mathcal{H}$, tenemos $$ \frac{r}{2\Vert v \Vert} v \in B_r(0) \subset M $$ Pero M es un subespacio lineal por lo $ v \in M $. Por lo tanto la única subespacios de $ \mathcal{H} $ se $ \mathcal{H} $ sí.

Answer 2

No.

Deje $N$ ser una normativa espacio y

$M \subsetneq N \tag 1$

una adecuada subespacio. A continuación, $M$ contiene ningún conjunto abierto no vacío. Por si

$\emptyset \ne U \subset M \tag 2$

fueron abiertos, con

$M \ni m \in U, \tag 3$

podemos encontrar $\rho > 0$ tal que la bola abierta

$B(m, \rho) \subset U; \tag 4$

a continuación, elegir alguno

$0 \ne v \in N \setminus M \tag 5$

el vector

$m + \alpha (v - m) \in B(m, \rho) \tag 6$

si $0 \ne \alpha \in \Bbb R$ es lo suficientemente pequeño, ya que

$\Vert (m + \alpha (v - m)) - m \Vert = \Vert \alpha (v - m) \Vert = \vert \alpha \vert \Vert v - m \Vert < \rho \tag 7$

para

$\vert \alpha \vert < \dfrac{\rho}{\Vert v - m \Vert}; \tag 8$

pero, a continuación,

$m + \alpha(v - m) \in M, \tag 9$

de dónde

$\alpha(v - m) = m + \alpha(v - m) - m \in M, \tag{10}$

de dónde

$v - m \in M, \tag{11}$

de dónde

$v = v - m + m \in M, \tag{12}$

en contradicción a (5); por lo tanto no $B(m, \rho)$ , como en (5) puede existir, y $M$ no se puede abrir, ya que no contiene conjunto abierto.