Deje que$\{a_n\}$ sea una secuencia de números positivos y$b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}$. Demostrar que$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge.

Question

Deje $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de números positivos y deje $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{1}+...+a_{n})^{2}}$ n $\in\mathbb{N}$. Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ es una serie convergente. Estoy atascado en cómo empezar este problema. He considerado el límite de la prueba de comparación, pero no ha funcionado para mí. Sé que puedo asumir $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ son positivos, así que tal vez necesito mostrar $\{b_{n}\}$ tiene un límite superior y aplicar el positivo de la serie de prueba. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Insinuación:

Con $S_n = a_1+ \ldots + a_n$ ,

PS

Tenga en cuenta que $$\frac{a_n}{S_n^2} \leqslant \frac{S_n - S_{n-1}}{S_nS_{n-1}} = \frac{1}{S_{n-1}}- \frac{1}{S_n}$ converge a un límite finito o $S_n$ y en todos los casos $+\infty$ converge a un límite finito.