Grupo de Galois de $x^3-x^2-4$

Question

Al determinar el grupo de Galois del polinomio $p(x) = x^3-x^2-4,$ concluí que debe ser el grupo de Klein-$4$ de la siguiente manera. Primero, $p(x) = (x-2)(x^2+x+2)$ y las raíces del cuadrático irreducible $x^2+x+2$ son: $$x_{1,2} = \dfrac{-1+\sqrt{-7}}{2}.$$ Por lo tanto, el campo de descomposición de $p(x)$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{7}, i).$ Dado que esta es una extensión biquadrática y ninguno de $i, \sqrt{7}$ y $\sqrt{7}i$ son cuadrados, el grupo de Galois es entonces el grupo de Klein-$4$.

Sin embargo, encontré dos respuestas diferentes que no están de acuerdo con la mía. La primera es de Dummit y Foote. Específicamente, en la página 612 se afirma que:

Si el polinomio cúbico es reducible y se descompone en un factor lineal y un cuadrático irreducible, su grupo de Galois es de orden $2.$

La segunda fuente es aquí, donde procede a concluir que el polinomio es irreducible y también que su grupo de Galois es $S_3,$ en la página $5.$

¿Cuál es la respuesta correcta aquí?

Answer 1

Con el objetivo de sacar esta pregunta de la lista de sin respuesta, estoy convirtiendo mi comentario en una respuesta:

El campo de descomposición es en realidad $\mathbb Q(\sqrt{7}i)$. Además, la segunda fuente está claramente equivocada, ya que $2$ es una raíz.