Al determinar el grupo de Galois del polinomio $p(x) = x^3-x^2-4,$ concluí que debe ser el grupo de Klein-$4$ de la siguiente manera. Primero, $p(x) = (x-2)(x^2+x+2)$ y las raíces del cuadrático irreducible $x^2+x+2$ son: $$x_{1,2} = \dfrac{-1+\sqrt{-7}}{2}.$$ Por lo tanto, el campo de descomposición de $p(x)$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{7}, i).$ Dado que esta es una extensión biquadrática y ninguno de $i, \sqrt{7}$ y $\sqrt{7}i$ son cuadrados, el grupo de Galois es entonces el grupo de Klein-$4$.
Sin embargo, encontré dos respuestas diferentes que no están de acuerdo con la mía. La primera es de Dummit y Foote. Específicamente, en la página 612 se afirma que:
Si el polinomio cúbico es reducible y se descompone en un factor lineal y un cuadrático irreducible, su grupo de Galois es de orden $2.$
La segunda fuente es aquí, donde procede a concluir que el polinomio es irreducible y también que su grupo de Galois es $S_3,$ en la página $5.$
¿Cuál es la respuesta correcta aquí?
4 votos
¿El campo de descomposición no es $\mathbb Q(\sqrt{7}i)$?
1 votos
Bueno, estoy de acuerdo 2 es una raíz. Por lo tanto, Dummit y Foote tienen razón. El problema con tu respuesta es que tienes mal el campo de división. Ver el comentario de Cheerful Parsnip arriba.
1 votos
@CheerfulParsnip, en realidad tienes razón. No sé en qué estaba pensando. $p(x)$ es el polinomio mínimo de sus raíces y por lo tanto, el grupo también debe ser de orden $2$.
0 votos
Todo está bien. Así es como aprendemos.
0 votos
@CheerfulParsnip tal vez deberías escribir una respuesta.