Lagrangiano QED: término de fijación gauge

Question

Tengo una pregunta sobre la estructura de la lagrangiana QED, en particular sobre la lagrangiana del fotón libre que contiene. Mi premisa es: Sólo sé cómo explotar la cuantización canónica para cuantizar una teoría; no sé cómo utilizar la formulación de la integral de trayectoria.

El lagrangiano QED es: $$ \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}+\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi, $$ así que asumo que la teoría del fotón libre explotada aquí es $$ \mathcal{L_{free}}=-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}. $$ Sin embargo, también aprendí que $\mathcal{L_{free}}$ unido con el gauge de Lorenz no puede darnos una cuantización covariante para el campo electromagnético (mediante la cuantización canónica, al menos). De hecho, introducimos el siguiente lagrangiano: $$ \mathcal{L_{feyn}}=-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}-\frac{1}{2 \xi}(\partial_{\mu}A^{\mu})^2 $$ con la elección del gauge de Feynman $\xi=1$ . Esto, unido a la restricción de Gupta-Bleuer, nos da los estados físicos del electromagnetismo.

Entonces: ¿por qué adoptamos $\mathcal{L_{free}}$ en lugar de $\mathcal{L_{feyn}}$ ? Sé que esta última no es gauge-invariante, pero la cuantización covariante de la teoría se consigue a través de ella, así que este punto no me queda claro.

Answer 1

1. Su lagrangiano de fijación gauge $\mathcal{L}_\text{feyn}$ sólo fija el gálibo si el multiplicador de Lagrange $1/\xi$ es dinámico, es decir, el lagrangiano se considera una función tanto de $A$ y $1/\xi$ . Entonces las ecuaciones de movimiento para $1/\xi$ arreglar el manómetro. Cuando dice "con $\xi = 1$ ", entonces estás integrando efectivamente el multiplicador de Lagrange y volviendo a utilizar el Lagrangiano original $\mathcal{L}_\text{free}$ e imponiendo sus ecuaciones de movimiento -el calibre- como una restricción a mano. Es decir sin usar realmente $\mathcal{L}_\text{feyn}$ como algo más que una excusa para hacer que su elección de calibre no parezca tan arbitraria. Si realmente estuvieras cuantizando $\mathcal{L}_\text{feyn}$ entonces también deberías tratar el multiplicador de Lagrange como un nuevo campo cuántico, ¿no?

2. No es culpa tuya, así funciona la cuantización Gupta-Bleuler. Es un truco que funciona muy bien, pero es un truco. Sin embargo, es un truco importante en el sentido de que es el precursor de la cuantización BRST de las teorías gauge generales, que aún conservan el paso intermedio de construir un lagrangiano gauge-fijo, cuantizarlo (¡con todos los campos auxiliares!) y luego desechar todos los estados que en realidad no querían desechar (de acuerdo con un criterio bien definido).

3. El Lagrangiano gauge-fijo es un mal punto de partida para la teoría porque no se presta bien al acoplamiento con otros campos cargados bajo la simetría - porque necesitarías añadir nuevo calibre los términos de fijación para cada campo cargado que añada. $\mathcal{L}_\text{free}$ es el verdadero gratis Lagrangiano porque se puede acoplar fácilmente a corrientes hechas de campos diferentes.