Una ecuación funcional de dos variables.

Question

Resuelva la siguiente ecuación funcional: $f:\Bbb Z \rightarrow \Bbb Z$ , $f(f(x)+y)=x+f(y+2017)$

No tengo experiencia previa con la resolución de ecuaciones funcionales, pero aún así lo intenté un poco. Configuré $x=y=0$ para obtener $f(f(0))=f(2017)$ . ¿Podemos aplicar $f^{-1}$ en ambos lados para obtener $f(0)=2017$ ? No puedo continuar con esto.

Answer 1

Lo consiguió! Yo probablemente sea complicado más de lo que yo tenía para entonces, si alguien ve alguna manera simplemente esto me encantaría escuchar comentarios.

Para solucionar esto, vamos a $y=0$ , de modo que $f(f(x)) = x+f(2017)$. Deje $c=f(2017)$. A continuación, para todos los $x\in\mathbb{Z}$, $$f(f(x)) = x+c$$

Ahora conectar $x=y=0$ en el original de la ecuación obtenemos $f(f(0)) = f(2017)$. Tomando $f$ de ambos lados de los rendimientos $f(f(f(0))) = f(f(2017))$ que es $f(0)+c=2017+c$así $f(0) = 2017$.

Ahora tome $f$ de ambos lados de la ecuación original para obtener $f(f(f(x)+y)) = f(x+f(y+2017))$ que es $f(x)+y + c = f(x+f(y+2017))$ Establecimiento $y=-2017$ da $$f(x)-2017 + c = f(x+f(0)) = f(x+2017)$$.

Ahora volvemos de nuevo a la ecuación original con $y=1$. Esto le da $f(f(x)+1) = x+f(2018)$ que por la fórmula anterior es la $x+f(1)-2017 + c$. Así $$f(f(x)+1)-f(f(x)) = x+f(1)-2017+c - (x+c) = f(1)-2017$$

Ahora, como $f(f(x)) = x+c$, $f(f(x))$, y por lo tanto $f(x)$, puede alcanzar todos los valores en $\mathbb{Z}$. Así que para cualquier $k\in\mathbb{Z}$, hay un $x\in\mathbb{Z}$ tal que $f(x)=k$, y por lo que la fórmula anterior se convierte en $$f(k+1)-f(k) = f(1)-2017$$ para todos los $k\in\mathbb{Z}$. Así que para todos los $k\in\mathbb{Z}$, $$f(k) = k+c_2$$ para algunos $c_2$. Así que la ecuación original se convierte en $$x+y+2c_2=x+y+2017+c_2$$ por lo $c_2=2017$. Por lo tanto la única solución es $$f(x) = x+2017$$

Answer 2

Usted podría tomar $y=0$ allí y $f(f(x))=x+f(2017)=x+n$ donde $n$ es una constante. Por lo tanto $f(f(x))$ es una función lineal. Se puede observar (supongo?) lo $f(x)$ podría ser como aquí. Si es así, entonces usted no tiene ningún problema en tomar el $f^{-1}$ y usted puede encontrar fácilmente $n$.

El punto es la forma de demostrar la naturaleza de la $f(x)$ si usted sabe $f(f(x))$ es lineal. Este es un problema interesante. ¿Cuál es la raíz cuadrada (con valores enteros) de una función lineal?

Ahora aquí no estoy seguro de $f(x)$ va a terminar siendo una función simple que involucra sólo a las operaciones aritméticas, o una función que también implica el modulo.

Answer 3

Deje $n$ ser un número entero. A continuación, en $f(x)=n$ e $y=0$, la ecuación de $f(f(x)+y)=x+f(y+n)$ hace $f(n+y)=f(y+n)+x\Big|_{f(x)=n}$, lo $f(0)=n$.

Ahora en $f(x)=n+1$, podemos derivar las relaciones similares, en $y=0$ e $y=-1$ respectivamente, $$x\Big|_{f(x)=n+1}=f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)\implies 2f(n)=f(n-1)+f(n+1).$$

Por inducción se puede probar que el $2f(n)=f(n-x)+f(n+x)$ o $2f(n)=f(x)+f(2n-x)$ para cualquier entero $x$. Suponiendo que la diferenciabilidad, $f'(x)-f'(2n-x)=0$ lo $f$ es lineal o función periódica. No puede ser periódica debido a $f(0)=n$ e $x\Big|_{f(x)=0}=f(n)-f(0)$.

Por lo tanto $f$ es una función lineal y ponerlo en $f(x)=ax+b$, nos da $b=n$ e $a=1$ desde $f(f(x))=x+f(n)$.