Deje $F$ ser un subconjunto cerrado de $[0,1]$ positivas de la medida de Lebesgue. Deje $\delta(x)$ se define como $\delta(x) = \operatorname{dist}(x, F)$. Considere la posibilidad de $$M(x) = \int_{0}^{1}\frac{\delta(y)}{|x -y|^2} \, dy$$ Demostrar que para casi cada punto de $x \in F$, $M(x) < \infty$.
Mis pensamientos hasta el momento son los siguientes: queremos mostrar que $M \in L^{1}(F)$, lo cual es más que suficiente para completar la prueba. Por lo tanto, considere la posibilidad de $$\int_{F} \int_{0}^{1}\frac{\delta(y)}{|x -y|^2} \, dy \,dx$$ Desde aquí, me gustaría continuar utilizando el Teorema de Fubini para cambiar el orden de integración para $$\int_{0}^{1}\int_{F} \frac{\delta(y)}{|x -y|^2} \, dx \,dy$$ A partir de aquí, no estoy muy segura de qué hacer.
