Definir la función del coseno a partir de los primeros principios, intuitivamente

Question

Durante la mayor parte de mi educación en matemáticas, la función del coseno ha sido definida formalmente ya sea usando su expansión en serie, como $ \mathfrak {Re}( \exp i \theta )$ o como la única solución para $y+y''=0$ con $y(0)=1$ y $y'(0) = 0$ .

Aunque estas definiciones hacen que las matemáticas sean más convenientes, siempre he estado interesado en ver cómo sería tratar de formalizarlas directamente con la intuición geométrica del círculo de la unidad, asumiendo sólo la noción de distancia (es decir, que tenemos un espacio métrico completo con la métrica $d \colon\mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \to \mathbb R$ ).

Ya que, por intuición geométrica, tenemos que la función del coseno es la $x$ -coordinación obtenida caminando a lo largo del círculo de la unidad, mi idea era tomar un segmento de línea del punto $(1,0)$ a otro punto del círculo, de tal manera que la distancia es $ \theta $ y lo dividimos en dos segmentos de línea cuya suma de longitudes es también $ \theta $ . Luego nos dividimos en 3 segmentos de línea, y así sucesivamente, de manera limitada, de tal manera que la suma de las longitudes es siempre $ \theta $ como se ilustra a continuación con $ \theta = 2 \pi /5$ .

[Desmos link]

Cuando este procedimiento converge, el $x$ - y $y$ -las coordenadas del punto límite deberían ser el coseno y el seno de $ \theta $ respectivamente. El problema es que no puedo encontrar una forma fácil de expresar la $n$ la coordenada de este procedimiento (asumiendo que estamos dividiendo la línea en $n-1$ segmentos) para que pueda tomar el límite.

Iba a intentar hacer las cosas al revés, es decir, definir $ \cos ^{-1} \colon [-1,1] \to [0, \pi ]$ acercándose al círculo desde abajo y encontrando la longitud. Me las arreglé para hacer esto, y conseguí que \begin {alineado*} \cos ^{-1}(x) &= \sum_ {k=1}^ \infty d \left [ \left ( \frac y no, \sqrt {1- \left ( \frac {(k-1)x}{n} \right )^2} \right ), \left ( \frac y no.., \sqrt {1- \left ( \frac {kx}{n} \right )^2} \right ) \right ] \\ [4pt] &= \sum_ {k=1}^ \infty \sqrt {2 \left (1- \sqrt {1- \frac {(k-1)^2 x^2}{n^2}} \sqrt {1- \frac {k^2 x^2}{n^2}} \right )- \frac {2 k(k-1) x^2}{n^2}}, \end {alineado*}

y supongo que se puede extrapolar desde aquí para obtener el $ \cos $ y $ \sin $ funciones y extenderlas apropiadamente.

Pero parece que el otro camino, es decir, encontrar ese punto límite, debería ser posible. Agradezco cualquier ayuda con esto.

Answer 1

Deje que $(x_1, y_1)$ ser el primer punto en su construcción. Usando los triángulos rectos similares $(0, 0)$ – $ \left ( \frac {x_1 + 1}{2}, \frac {y_1}{2} \right )$ – $(1, 0)$ y $ \left ( \frac {x_1 + 1}{2}, \frac {y_1}{2} \right )$ – $ \left ( \frac {x_1 + 1}{2}, 0 \right )$ – $(1, 0)$ calculamos

$$(x_1, y_1) = \left (1 - \frac {( \theta /n)^2}{2}, \frac\theta n \sqrt {1 - \frac {( \theta /n)^2}{4}} \right ).$$

¿Cómo pasamos de $(x_k, y_k)$ a $(x_{k + 1}, y_{k + 1})$ ? Esto es sólo una rotación, que es un trabajo fácil de hacer por la multiplicación compleja por la constante $x_1 + iy_1$ :

$$x_{k + 1} + iy_{k + 1} = (x_k + iy_k)(x_1 + iy_1).$$

Iterar esto $n$ veces da

$$x_n + iy_n = (x_1 + iy_1)^n.$$

En este punto, algunos cálculos mostrarían que esto se aproxima $e^{i \theta }$ pero no queremos usar el cálculo, así que en su lugar ampliaremos esto usando el teorema del binomio:

$$x_n + iy_n = \sum_ {k = 0}^n \binom {n}{k} x_1^{n - k}i^ky_1^k.$$

La parte real es

$$ \begin {split} x_n &= \sum_ {k = 0}^{ \lfloor n/2 \rfloor } \binom {n}{2k} (-1)^kx_1^{n - 2k}y_1^{2k} \\ &= \sum_ {k = 0}^{ \lfloor n/2 \rfloor } \binom {n}{2k} (-1)^k \left (1 - \frac {( \theta /n)^2}{2} \right )^{n - 2k} \left ( \frac { \theta }{n} \right )^{2k} \left (1 - \frac {( \theta /n)^2}{4} \right )^k, \end {split}$$

que supongo que es una expresión.

Milagrosamente, en el límite como $n \to \infty $ Tenemos

$$ \binom {n}{2k} \frac {1}{n^{2k}} \to \frac {1}{(2k)!}, \quad \left (1 - \frac {( \theta /n)^2}{2} \right )^{n - 2k} \to 1, \quad \left (1 - \frac {( \theta /n)^2}{4} \right )^k \to 1,$$

así que el $k$ El término converge en simplemente

$$ \frac {(-1)^k}{(2k)!} \theta ^{2k}.$$

Después de comprobar algunos detalles sobre el intercambio de la suma con el límite, recuperamos la serie de energía que conocemos y amamos.

$$ \cos \theta = \sum_ {k = 1}^ \infty \frac {(-1)^k}{(2k)!} \theta ^{2k}.$$

Podemos conseguir $ \sin \theta $ de la parte imaginaria de una manera similar.

Answer 2

Existe un método alternativo, basado en el algebraísmo, para establecer los valores del coseno a partir de la definición de la función en esta materia. Salvo la última de estas cuatro características, las definiciones deben ser evidentes a partir de la representación geométrica habitual en el círculo unitario:

• El coseno de $0$ es $1$ .
• La función del coseno es pareja y tiene un período de $2 \pi $ .
• La función del coseno estrictamente, monótonamente disminuye a medida que su argumento aumenta de $0$ a $ \pi $ .
• La función del coseno satisface las múltiples fórmulas angulares que podemos probar mediante la manipulación algebraica de las funciones trigonométricas; por ejemplo. $ \cos 2x = 2 \cos ^2 x -1$ . Esto no requiere el conocimiento previo de ningún valor de función específico.

A partir de estas propiedades podemos identificar $ \cos (p \pi /q)$ como una raíz de una ecuación polinómica para cualquier número entero. $p$ y $q$ siempre y cuando, por supuesto. $q \ne 0$ obteniendo así un denso conjunto de valores sobre el dominio real.

Empieza con $ \cos (p \pi )$ ( $q=1$ ). Sabemos por las dos primeras propiedades que el coseno será $1$ cuando $p$ es parejo. Para impar $p$ aplicamos la fórmula del doble ángulo para conseguir

$2\ cos^2(p \pi )-1=1$

de qué condición, $ \cos (p \pi )= \pm 1$ para todo el impar $p$ . Pero la tercera propiedad por encima de las fuerzas $ \cos\pi <1$ que significa $ \cos\pi $ sólo puede ser $-1$ y luego la segunda propiedad implica $ \cos (p \pi )=-1$ para llamar a impar $p$ .

Seguimos adelante. Aplica la fórmula del doble ángulo de nuevo, con $x=p \pi /2$ y $p$ impar, para conseguir

$2 \cos ^2(p \pi )-1=-1$

para todo el impar $p$ . Así hemos conseguido $ \cos (p \pi /2)=0$ para todo el impar $p$ . Incluso los valores de $p$ con $q=2$ son, por supuesto, reducibles a la $q=1$ caso.

Cuando $q$ no es un poder si $2$ invocamos fórmulas de múltiples ángulos más altas. Digamos que queremos $ \cos (p \pi /3$ ). Tenemos la fórmula del triple ángulo de la cuarta propiedad:

$ \cos (3x)=4 \cos ^3 x-3 \cos x$

Poniendo $x= \pi /3$ entonces da

$4 \cos ^3( \pi /3)-3 \cos (pi/3)+1=0$

que tiene dos raíces distintas, por lo tanto $ \cos (pi/3)=-1$ o $ \cos (pi/3)=1/2$ . Ya derivamos $ \cos ( \pi )=-1$ así que nuestra tercera propiedad rechaza $ \cos (pi/3)=-1$ . Debemos tener $ \cos (pi/3)=1/2$ . El lector puede poner de manera similar $x=2 \pi /3$ y conseguir $ \cos (2pi/3)=-1/2$ . La propiedad 2 se ocupa de otros múltiplos de $ \pi /3$ .

Podemos seguir con denominadores más altos y, cuando sea necesario, con fórmulas de múltiples ángulos más altas, pero aparte del álgebra más complicada estamos haciendo básicamente lo mismo desde aquí.

Observe cuidadosamente la segunda propiedad de arriba. Se basa en la simetría y la naturaleza cerrada del círculo. Reemplaza el círculo con una hipérbola y perdemos el cierre . Con ella va la propiedad periódica. Así que mientras que todavía podemos definir $ \cosh 0=1, no podemos ganar nada de tracción para renderizar otros valores "bonitos" como tenemos para las funciones trigonométricas circulares.

Answer 3

Deje que $ \alpha_n $ ser el ángulo central del primer trángulo en el $n$ - la iteración.

Es un triángulo isósceles con una longitud de base $ \frac { \theta }n$ y la longitud de la pierna $1$ . Por lo tanto $ \alpha_n $ viene dada por la ecuación $$ \sin\frac { \alpha_n }2 = \frac { \theta }{2n}$$ o $ \alpha_n = 2 \arcsin\left ( \frac { \theta }{2n} \right )$ .

Las coordenadas de la última ( $n$ -el punto es entonces $$( \cos (n \alpha_n ), \sin (n \alpha_n )) = \left ( \cos\left (2n \arcsin\left ( \frac { \theta }{2n} \right ) \right ), \sin\left (2n \arcsin\left ( \frac { \theta }{2n} \right ) \right ) \right ) \xrightarrow {n \to\infty } ( \cos\theta , \sin\theta )$$

debido al límite $ \lim_ {t \to 0} \frac { \arcsin t}t = 1$ y la continuidad de $ \sin $ y $ \cos $ .

Esto muestra que su último punto construido converge en efecto en $( \cos\theta , \sin\theta )$ . Sin embargo, no da una expresión algebraica para las coordenadas.

Answer 4

Traza el círculo de la unidad en un plano cartesiano. Para propósitos de exposición, usemos el usual $x,y$ coordenadas y medir los ángulos caminando el círculo en sentido contrario a las agujas del reloj desde $(x,y)=(1,0)$ como en sus figuras. Entonces el punto a la distancia del arco $t$ de $(1,0)$ tiene coordenadas $( \cos t, \sin t)$ por la definición de círculo unitario del seno y el coseno.

También podemos ver $ \mathbf x(t) = ( \cos t, \sin t)$ como un vector de posición parametrizado del punto a distancia de arco $t$ alrededor del círculo de la unidad. Dado que hacer una medición rigurosa de la longitud del arco parece inevitablemente implicar algún tipo de proceso limitante, usemos el tipo de proceso limitante que nos permite computar $ \mathbf x'(t),$ el derivado de $ \mathbf x(t)$ con respecto a $t.$

Ahora, $ \mathbf x'(t)$ estará en la dirección de la tangente al círculo en $ \mathbf x(t),$ y $ \lvert\mathbf x'(t) \rvert = 1,$ así que es un vector unitario en ángulo recto en sentido contrario a las agujas del reloj desde $ \mathbf x(t).$ En particular, dado que $ \mathbf x(0) = (1,0),$ se deduce que $ \mathbf x'(0) = (0, 1).$

Diferenciando una segunda vez, $ \mathbf x''(t)$ es un vector unitario en ángulo recto en sentido contrario a las agujas del reloj desde $ \mathbf x'(t),$ exactamente lo opuesto a $ \mathbf x(t).$

Por lo tanto $ \mathbf x(t) + \mathbf x''(t) = 0.$

Rompiendo esto en componentes, dejando $ \mathbf x(t) = (f_1(t), f_2(t)),$ tenemos $ \cos t = f_1(t)$ donde $f_1(t) + f_1''(t) = 0.$ También tenemos $f_1(0) = 1$ y $f_1'(0) = 0.$

Mostrar que la solución de la ecuación diferencial con esas condiciones límite es única, entonces renombra $f_1$ a $y,$ y has demostrado que la función del coseno es la única solución para $y+y''=0$ con $y(0)=1$ y $y'(0)=0,$ usando la intuición geométrica del círculo de la unidad.