$X_1,..,X_n$ iid variable aleatoria y discreta, teorema local del límite

Question

Deje $X_1,..., X_n$ ser yo.yo.d discretas variables aleatorias que toman su valor en $\mathbb{Z}$ con un no trivial y finito de apoyo. Deje $S_n = X_1+...+ X_n$

Demostrar la existencia de $ 0 < C_1 < C_2 < \infty$ tal que para todos los $ n \geq 1$ :

$$ C_1/\sqrt{n} \leq \sup_{k \in \mathbb{Z}} \mathbb{P}(S_n = k) \leq C_2/\sqrt{n}$$

Sé que esto puede ser probado utilizando el teorema del límite central aún no hemos visto este teorema en la clase para este ejercicio se puede resolver sin el uso de CLT.

Hasta ahora aquí están mis pensamientos :

El hecho de que es $\sqrt{n}$ proviene del hecho de que la desviación estándar de $S_n$ es $\theta \sqrt{n}$. Por tanto, una estrategia posible es el estudio de la variable aleatoria : $\frac{S_n- \mu}{\theta/\sqrt{n}}$. Sin embargo, a partir de ahora me adaptador no lograba encontrar una cota superior de la probabilidad.

Por ejemplo, utilizando la desigualdad de Markov me sale que :

$$\mathbb{P}( \mid \frac{S_n}{n} -\mu \mid \geq \theta/\sqrt{n}) \leq \frac{1}{n}$$

El problema es que no ayuda ya que no puedo decir nada al $\mid S_n/n -\mu \mid \leq \theta/\sqrt{n}$.

Gracias !

Answer 1

Puedo probar que el límite inferior de la siguiente manera:

$P(|S_n-n\mu| \geq cn^a\theta) \leq \frac{1}{c^2n^{2a-1}}$.

Por lo tanto el mayor $P(S_n=k)$ es aproximadamente mayor que $(1-c^{-2}n^{1-2a})(2cn^a\theta+1)^{-1}$. (Debido a que esta cantidad no es mayor que $P(|S_n-n\mu| \leq cn^a\theta)|[n\mu-cn^a\theta,n\mu+cn^a\theta] \cap \mathbb{Z}|^{-1}$).

Tome $a=1/2, c=2$, esta cantidad es mayor que $\frac{3/4}{4\theta\sqrt{n}+1}$, lo que demuestra que el límite inferior.

Edit: esto fue hecho sin mirar a Michael comentario.