¿Por qué es $\cos \sqrt z$ todo pero $\sin \sqrt{z}$ ¿No es así?

Question

He estado tratando de formular una forma de comparar estas dos funciones, con el fin de averiguar por qué la función $\sin \sqrt z$ no es entero, pero no he podido encontrar una buena manera de hacerlo. Lo que he intentado hasta ahora:

• Escribí la serie de ambas funciones: \begin{align}\cos(\sqrt{z})&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^n}{(2n)!}\\ \sin(\sqrt{z})&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^n\cdot\sqrt{z}}{(2n+1)!}\end{align}

• El $e$ versión: \begin{align}\cos(\sqrt{z})&=\frac{e^{i\sqrt{z}}+e^{-i\sqrt{z}}}{2}\\ \sin(\sqrt{z})&=\frac{e^{i\sqrt{z}}-e^{-i\sqrt{z}}}{2i} ,\end{align}

pero no me ayudaron a resolver el problema. ¿Cómo puedo avanzar desde aquí? No pude encontrar la manera de escribir las ecuaciones de Cauchy-Riemann para $\cos$ o $\sin$ .

Answer 1

Sugerencia Supongamos que $F(z) := f(\sqrt{z})$ es analítica en $z = 0$ para alguna elección de corte de rama de $\sqrt{\cdot}$ digamos, $F(w)$ tiene series de potencia $$F(w) \sim a_0 + a_1 w + a_2 w^2 + \cdots$$ en $w = 0$ . ¿Cuál es la serie de potencias de $f(w) = F(w^2)$ en $w = 0$ ?

Sugerencia adicional Tenemos $$f(w) \sim a_0 + a_1 w^2 + a_2 w^4 + \cdots .$$

Esto demuestra que no sólo es $\sin \sqrt{z}$ no entero, no es analítico en ningún barrio de $z = 0$ (para cualquier elección de corte de rama).

Answer 2

Dado cualquier argumento $z$ Hay exactamente dos valores para la raíz cuadrada, $w$ y $-w$ . Si el seno de $w$ es igual al seno de $-w$ para todos $z$ entonces los dos valores posibles de la raíz cuadrada de $z$ conducen a un solo valor del seno y, por tanto, no es necesario cortar la rama. Pero, si $w$ y $-w$ dan diferentes senos para cualquier $z$ , entonces debe haber un corte de rama para separar los dos valores del seno por lo tanto no se puede tener una función completa.

Resulta que esto no funciona porque $\sin (-w)=-\sin w$ y por lo tanto $\ne \sin w$ excepto cuando el valor del seno resulta ser cero. Nos vemos obligados a aceptar cortes de rama entre los ceros de $\sin w$ , lo que significa $w=\sqrt{z}$ es un múltiplo de $\pi$ y $z$ mismo nos un múltiplo de $\pi^2$ . ¿Puedes diagramar una opción relativamente sencilla para los cortes de rama necesarios en el plano complejo?

Ahora inténtalo con la función coseno utilizando el mismo razonamiento anterior, pero hay una pequeña diferencia. El coseno es una función par, no impar, por lo que $\cos (-w)=+\cos w$ en lugar de $-\cos w$ . ¿Cómo cambia eso el resto de tus conclusiones anteriores para la función coseno, en contraposición a la seno?

Vigila siempre tus señales.