Esta es una respuesta a la aceptación de responder más que a la pregunta, pero creo que eso está bien, ya que ambos son planteados por el mismo cartel.
NOTA: HE CAMBIADO ALGUNAS COSAS DESPUÉS DE LEER DARIJ COMENTARIO
La cuestión parece ser que de las cuatro definiciones de primer elemento es el "correcto". Insisto en que las definiciones aquí, pero vamos a definir cuatro tipos de elementos (prime1, prime1', prime2, prime3). La razón de esto es algo difícil de notación es la que nos permite decir cosas como "El elemento $4 \in \mathbb{Z}$ es prime2 pero no prime1' y saber exactamente de qué estamos hablando.
Así que aquí están las definiciones.
Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime1 si no es una unidad y $\forall a, b \in R$ tal que $p|ab$, $p|a$ o $p|b$. Esta es la definición que se utiliza en la mayoría de las otras respuestas.
Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime1' si no es una unidad y $\forall c \in R$ tal que $p|c$, y para todos los $a, b \in R$ tal que $ab = c$, $p|a$ o $p|b$. Esta definición aparece en el aceptado la respuesta, aunque en ese momento el OP parece haber dejado de creer que es la correcta.
Yo uso los nombres prime1 y prime1 " para hacer énfasis en que estas definiciones son realmente idénticos. Sólo trato de pensar durante 2 segundos lo que usted necesita hacer para demostrar que un elemento $p$ no es prime1 o no prime1'. En ambos casos equivale a la misma cosa: encontrar dos elementos ($a, b$) que no son divisibles por $p$ , mientras que su producto ($c$).
Las cosas se ponen más interesantes cuando invocamos a los otros dos definiciones.
Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime2 si no es una unidad y $\exists c \in R$ tal que $p|c$ e $\forall a, b \in R$ tal que $ab = c$ tenemos que $p|a$ o $p|c$. Esta definición es la nada escrito explícitamente, pero es muy fuertemente implícitamente presente en la pregunta original.
Un elemento $p$ en un anillo de $R$ se llama prime3 si no es una unidad y $\forall c \in R$ tal que $p|c$, y para todos finito $S \subset R$ tal que $\prod_{s \in S} = c$, hay un $s \in S$ tal que $p|s$. Esta definición es la propuesta por la OP en la aceptó respuesta como la "correcta".
Ahora el contenido de la pregunta original es que el número de $4 \in \mathbb{Z}$ es prime2, mostrando que "prime2-ness' no es una buena manera de generalizar 'primeness' (primalidad) de números enteros arbitrarios de los anillos. Muy bonito, nunca he pensado en eso antes. Sin embargo, por ahora eso significa que prime2 es como un candidato a la definición de "primer" y la carrera es entre prime1 y prime3. (Ignoro prime1' por el momento como es idéntico a prime1).
El contraejemplo de la OP está pidiendo que parece ser un número natural que es prime3 pero no prime en el sentido ordinario. De hecho ya sería interesante ver cualquier elemento de cualquier integrante de dominio que es prime3 pero no prime1 o prime1 pero no prime3. El punto de mi respuesta es: estos elementos no existen. Concretamente, tenemos:
Teorema 1: deje $R$ integrante de dominio. A continuación, cada elemento que se prime3 es también prime1
Teorema 2: deje $R$ integrante de dominio. A continuación, cada elemento que se prime1 es también prime3.
Juntos los teoremas decir que las dos definiciones son equivalentes y, por tanto, que la elección de la una sobre la otra es una cuestión de gusto (o pedagogía) y no cambia nada matemáticamente.
Voy a probar los teoremas siguientes.
Demostrar el Teorema 1 es muy fácil, no hay casi nada que hacer. Tenemos un elemento $p$ que es prime3 y elementos $a, b$ tal que $p|ab$. Tomando $c = ab$ e $S = \{a, b\}$ vemos que a partir de prime3-nidad de $p$ que $p|a$ o $p|b$ , lo que implica que $p$ es prime1. Final de la prueba.
Demostrar el Teorema 2 es un poco más complicado.
Deje $p$ ser un prime1 elemento de $R$. Deje $c$ cualquier elemento de $R$ tal que $p|c$ y deje $S \subset R$ ser cualquier conjunto finito tal que $\prod_{s\in S} s = c$. Tenemos que mostrar que hay un elemento $s \in S$ tal que $p|s$ a fin de demostrar que $p$ es prime3. Hacemos esto por inducción sobre el número de $n$ de los elementos de $S$.
El primer obstáculo que tenemos que enfrentar es el hecho de que si $n = 0$ entonces nuestra meta es inalcanzable: claramente en un conjunto vacío no hay ningún elemento $s$ tal que $p|s$. Por suerte en este caso no se produce! El punto es: el producto de todos los elementos de un conjunto vacío es de 1 por definición. Pero si $c = 1$ e $p|c$ entonces $p$ es una unidad, lo que contradice su prime1-ness. Así que este caso no puede ocurrir.
Nos movemos en el caso de $n = 1$. Si $S$ contiene un solo elemento, es evidente que este elemento debe ser el elemento $c$, que fue el producto de todos los elementos. Pero ya sabemos que $p|c$ y así, en efecto, $p$ divide una (o más bien: el elemento de $S$.
Ahora vamos a $n \geq 2$ y suponemos que (Inducción de la Hipótesis") que para todos los $a \in R$ con $p|a$ y todos los $S' \subset R$ con $n-1$ elementos que $\prod_{s \in S'} s = a$ tenemos que $p$ divide algún elemento de $S'$.
Todavía estamos trabajando con la $n$-element set $S$ y etiquetar los elementos $s_1, s_2, \ldots, s_{n-1}, s_n$. Deje $a = s_1 \cdot s_2 \cdots s_{n-1}$ e $b = s_n$. A continuación, $ab = c$ y, por tanto, $p|ab$ y, por lo tanto, desde el $p$ es prime1 tenemos que $p|a$ o $p|b$. En el segundo caso vemos que $p|s_n$ y por lo tanto vemos que $p$ divide un elemento de $S$ como queríamos demostrar. En el primer caso se establezca $S' = \{s_1, \ldots, s_{n-1}\}$. Desde $p|a$ sabemos, a partir de la Inducción de la Hipótesis de que la $p$ divide algún elemento de $S'$. Pero cada elemento de a$S'$ es también un elemento de $S$, por lo que en este caso tenemos que $p$ divide un elemento de $S$ como bueno, como queríamos demostrar.
Final de la prueba.
En resumen: la nueva definición de su respuesta y la definición antigua de las otras respuestas son equivalentes y los mismos elementos de $R$.
